Calcular a área limitada por um gráfico, dada uma função e um intervalo [a,b], é uma aplicação do cá...

Alternativa D - Teorema fundamental do cálculo.

Introdução

O cálculo integral é sustentado por um teorema central que estabelece a conexão entre a derivação e a integração, permitindo o cálculo eficiente de áreas.

Desenvolvimento

Antes deste teorema, o cálculo de áreas era feito por métodos de exaustão extremamente complexos. O teorema em questão permite que, se conhecermos uma antiderivada (primitiva) de uma função contínua, possamos calcular a integral definida apenas avaliando essa primitiva nos extremos do intervalo.

Análise

• Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): É o pilar que define que ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a). É este teorema que valida o uso de integrais para determinar a área sob uma curva.
• Outros Teoremas: L'Hospital trata de limites; Taylor trata de aproximação por polinômios; Sanduíche trata de convergência de limites; Integral indefinida é apenas o conceito de primitiva sem limites de integração.

Conclusão

O nome do teorema que fundamenta o cálculo de áreas através da integração definida é o Teorema Fundamental do Cálculo.

Alternativa D.