Determine o campo magnético, em todos os pontos do espaço, gerado por uma corrente elétrica de intensidade I, a qual se distribui de maneira uniforme por fio infinito, mas um fio g

GABARITO A resposta correta é a alternativa b) Consideremos o eixo z como sendo aquele determinado pela direção da corrente. Por argumentos de simetria, admitiremos que o campo magnético só tenha componentes tangenciais a circunferências concêntricas com o eixo z, tomado como estando no centro do fio infinito (o centro de uma seção transversal do fio, vide figura abaixo) Assim, antes de mais nada, escrevemos: B →(r) = B(r)e →(φ) = B(r)(- senφi → + cosφj →) Em que r é a distância do ponto considerado, o qual é, ainda, caracterizado pela coordenada φ. Utilizamos, portanto, coordenadas polares. Utilizando o caminho indicado na figura, uma circunferência de raio r, podemos escrever o elemento infinitesimal de caminho dl → = dle →(φ) Portanto, B →(r)dr = B(r)dl No caso de um fio infinito obtemos, a partir do caminho circular de raio r em torno do fio e utilizando as expressões acima, que a circulação do campo B ao longo desse caminho será dada por: ∮(Γ)B → · dl → = ∫₀^(2π)B(r)rdϕ = 2πrB(r) A integral da densidade de corrente sobre a superfície plana contendo o círculo de raio r e para o caminho escolhido (vide figura) nos leva ao resultado: I(r) = ∫₀^(2π)dϕ∫(o)^(r)dρρJ(ρ) Em que I(r) é a corrente no interior da superfície de raio r. Consequentemente, a lei de Ampère nos permite prever para a componente azimutal do campo elétrico a seguinte expressão: B(r) = (μ₀I(r))/(2πr) I(r) = ∫₀^(2π)dϕ∫(o)^(r)dρρJ(ρ) Resta-nos agora determinar J(ρ). Para uma distribuição de correntes uniforme, podemos escrever J(ρ) = J₀. O valor de J₀ é determinado a partir da condição: I(R) = I = ∫₀^(2π)dφ∫(o)^(R)dρρJ₀ = J₀πR² Donde concluímos que: J₀ = (I)/(πR²) Apesar da escolha da superfície plana contendo o circulo, o resultado acima vale para qualquer superfície que o contenha. Para os pontos externos ao fio, isto é, para pontos tais que r > R, o campo magnético é dado por: B(r) = (μ₀I)/(2πr) Em que agora a corrente I é a corrente total fluindo através do fio. A expressão acima nos dá o módulo da corrente. Para obtermos a informação completa sobre o campo magnético (incluindo a direção e o sentido), devemos recorrer á expressão vetorial: B →(fora)(r) = (μ₀I)/(2πr)e →(φ) Para os pontos internos ao fio, isto é, para pontos tais que r < R, adotamos uma circunferência com r < R. Vide figura abaixo: Assim, nesse caso: I(r) = J₀∫₀^(2π)dφ∫(o)^(r)dρρ = J₀πr² ou seja, I(r) = (r²)/(R²) Portanto, nos pontos internos ao fio B(r) = (μ₀I)/(2π)(r)/(R²) Logo, B →(dentro)(r) = (μ₀Ir)/(2πR²)e →_(φ)