Uma esfera de raio R = 10 cm tem densidade superficial de cargas elétricas positivas, de tal forma que σ = 2 · 10^(- 5)C / m². Com base nessa informação, calcule: I. A componente r

GABARITO A resposta correta é a alternativa c) 1- Utilizando a lei de Gauss para uma superfície gaussiana, de acordo com a figura abaixo: Obteremos para pontos tais que r > R (fora da distribuição de cargas). E(r) . 4πr² = (Q)/(ε₀) Portanto: E(r) = (Q)/(4πε₀)(1)/(r²) ⇒ V(r) = (Q)/(4πε₀r) Mas, Q = σ4πR² Logo, para r > R: E(r) = (σ)/(ε₀)(R²)/(r²) No interior do condutor, por outro lado, não existem cargas elétricas. Assim, podemos afirmar que r < R. E(r) - 0 Dessa forma, E(r = 5 cm) = 0 De acordo com os dados, temos, utilizando o SI: (1)/(ε₀) = 4π . 9 . 10⁹ (σR²)/(ε₀) = 4π · 9 · 10⁹(2 · 10^(- 5))10^(- 2) = 72π · 10² Portanto, para os pontos externos à distribuição, temos, para r em metros, E(r) = (72π · 10²)/(r²)(V)/(m) Portanto, E(r = 20cm) = 0 = (72π · 10⁴)/(2²)(V)/(m) Donde concluímos que: E(r = 20cm) = 0 = 18π · 10⁴(V)/(m) 2- Potencial elétrico: E(r) = - (dV(r))/(dr) Logo, nos pontos externos E(r) = - (dV(r))/(dr) = (σ)/(ε₀)(R²)/(r²) Dai obtemos V(r) = (σR²)/(ε₀r) No caso, V(r) = (72π · 10²)/(r)V Na superfície, temos: V(r = 10cm) = (72π · 10²)/(10^(- 1))V Logo, V(r = 10cm) = 72π · 10³V No interior da superfície, temos: V = V₀ = V(R) = (σ)/(ε₀)R = 72π · 10³V Portanto, V(r = 5cm) = V(r = 10cm) = 72π · 10³V Ao passo que V(r = 20cm) = (72π · 10³)/(2)V Portanto, V(r = 20cm) = 36π · 10³V A figura abaixo resume esses dados: