Qual o comprimento de onda de um fóton emitido em um átomo de hidrogênio? Considere a energia de rep...

Alternativa A - $1,12 \cdot 10^{-10} \text{ m}$

Introdução

Esta questão aborda a Dualidade Onda-Partícula, um pilar da Mecânica Quântica proposta por Louis de Broglie. O objetivo é determinar o comprimento de onda associado a uma partícula material (um elétron) que possui uma certa energia cinética.

Para resolver, utilizamos a relação fundamental entre o momento linear da partícula e seu comprimento de onda associativo.

Desenvolvimento

1. Fórmula de De Broglie

O comprimento de onda ($\lambda$) é dado pela razão entre a constante de Planck ($h$) e o momento linear ($p$) da partícula:

$$ \lambda = \frac{h}{p} $$

2. Relação com a Energia Cinética

Como temos a energia cinética ($E_c$) e não o momento direto, usamos a relação clássica (válida para energias não-relativísticas, como 150 eV):

$$ Ec = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2mEc} $$

Substituindo na fórmula de De Broglie:

$$ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}} $$

3. Conversão de Unidades

É crucial converter tudo para o Sistema Internacional (SI):

• Constante de Planck ($h$): $6,62 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$ * Massa do elétron ($m$): $9,11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ * Energia Cinética ($E_c$): $150 \text{ eV}$ (conforme leitura da imagem). * Sabemos que $1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$. * $E_c = 150 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J} = 2,4 \cdot 10^{-17} \text{ J}$.

4. Cálculo

Substituindo os valores:

$$ \lambda = \frac{6,62 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot (9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (2,4 \cdot 10^{-17})}} $$

Calculando o denominador (momento): $$ \sqrt{43,7 \cdot 10^{-48}} \approx 6,61 \cdot 10^{-24} \text{ kg}\cdot\text{m/s} $$

Calculando $\lambda$: $$ \lambda \approx \frac{6,62 \cdot 10^{-34}}{6,61 \cdot 10^{-24}} \approx 1,00 \cdot 10^{-10} \text{ m} $$

Analise

Observamos que o cálculo rigoroso para $150 \text{ eV}$ resulta em aproximadamente $1,00 \cdot 10^{-10} \text{ m}$. Contudo, analisando as alternativas:

| Alternativa | Valor ($\text{m}$) | Energia Estimada ($E_c$) | | --- | --- | --- | | A | $1,12 \cdot 10^{-10}$ | $\approx 120 \text{ eV}$ | | B | $3,24 \cdot 10^{-10}$ | $\approx 16 \text{ eV}$ | | C | $5,38 \cdot 10^{-10}$ | $\approx 6 \text{ eV}$ | | D | $7,48 \cdot 10^{-10}$ | $\approx 3 \text{ eV}$ |

• Ordem de Grandeza: Elétrons acelerados por tensões da ordem de centenas de volts possuem comprimentos de onda na escala de Angstrons ($10^{-10} \text{ m}$). * Eliminação: As alternativas B, C e D exigiriam energias extremamente baixas (menos de 20 eV), o que é incomum para problemas típicos de difração de elétrons sem menção específica. * Conclusão: A alternativa A é a única que apresenta a ordem de grandeza correta ($10^{-10} \text{ m}$). É muito provável que haja uma pequena divergência nos dados da imagem (o valor pode ter sido originalmente $120 \text{ eV}$ ou houve um arredondamento específico nas constantes), mas A é a resposta fisicamente coerente.

Alternativa A.