Uma sonda interestelar viaja em linha reta do Sol em direção à uma estrela Anā Vermelha próxima do n...

Alternativa A

Este problema envolve a aplicação da Lei do Inverso do Quadrado da Distância para intensidade luminosa. O objetivo é encontrar o ponto onde o brilho aparente de duas fontes estelares se iguala para um observador intermediário.

Desenvolvimento

A luminosidade aparente diminui à medida que a distância aumenta. Para que os brilhos sejam idênticos, a relação entre as luminosidades intrínsecas deve compensar exatamente a diferença nas distâncias percorridas pela luz até a sonda.

Definimos $X$ como a distância da sonda ao Sol e $(D - X)$ como a distância da sonda à estrela vermelha, onde $D = 5,2$ anos-luz.

Analise

• Lei Física Aplicada: O brilho aparente $b$ segue a fórmula $b = \frac{L}{4\pi d^2}$, onde $L$ é a luminosidade e $d$ é a distância. * Condição de Igualdade: Para brilhar igualmente, devemos ter $b*{\text{Sol}} = b*{\text{Estrela}}$. $$ \frac{L*{\text{Sol}}}{4\pi X^2} = \frac{L*{\text{Estrela}}}{4\pi (D - X)^2} $$ * Relação de Luminosidade: Sabemos que $L*{\text{Estrela}} = 0,0016 \cdot L*{\text{Sol}}$. Substituindo na equação: $$ \frac{L*{\text{Sol}}}{X^2} = \frac{0,0016 \cdot L*{\text{Sol}}}{(5,2 - X)^2} $$ * Simplificação: Cancelando $L_{\text{Sol}}$ e $4\pi$, isolamos as variáveis de distância: $$ \frac{1}{X^2} = \frac{0,0016}{(5,2 - X)^2} $$ * Raiz Quadrada: Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para resolver a incógnita $X$: $$ \frac{1}{X} = \frac{\sqrt{0,0016}}{5,2 - X} $$ Como $\sqrt{0,0016} = 0,04$, temos: $$ \frac{1}{X} = \frac{0,04}{5,2 - X} $$ * Cálculo Final: Realizando a multiplicação cruzada: $$ 5,2 - X = 0,04 X $$ $$ 5,2 = 1,04 X $$ $$ X = \frac{5,2}{1,04} = 5,0 $$

Conclusão

O cálculo demonstra matematicamente que a sonda deve estar a exatos 5,0 anos-luz do Sol para receber a mesma quantidade de energia luminosa das duas estrelas. Portanto, a alternativa correta é a A.