Matrizes são usadas para representar relações binárias sobre conjuntos finitos. Essa representação é...

Alternativa C - Toda matriz identidade é simétrica.

Introdução

A simetria de uma matriz está ligada à igualdade entre ela e sua transposta (A = Aᵀ). A matriz identidade (I) é um caso especial de matriz diagonal.

Desenvolvimento

• Matriz Simétrica: Os elementos a_{ij} devem ser iguais aos elementos a_{ji}. Visualmente, os elementos acima da diagonal principal são o espelho dos elementos abaixo.
• Matriz Identidade (I): Possui 1 na diagonal principal (onde i=j) e 0 nos demais lugares (onde i≠j). Se invertermos linhas por colunas (transposição), o 1 que está na posição (1,1) continua na (1,1), e os zeros se trocam entre si, mantendo a matriz idêntica.

Análise

• A (Falsa): Uma matriz pode ser simétrica sem ser a identidade (ex: todos os elementos iguais a 5).
• B (Falsa): A identidade de ordem n tem exatamente n elementos iguais a 1 (um para cada linha da diagonal), não apenas um.
• C (Verdadeira): Por definição, I = Iᵀ, logo toda identidade é simétrica.
• D (Falsa): A matriz nula (só zeros) não é a identidade (que exige uns).
• E (Falsa): A transposta de uma simétrica é, por definição, igual à original.

Conclusão

A matriz identidade atende a todos os requisitos de simetria, pois o espelhamento em relação à sua diagonal principal é perfeito.

Alternativa C.