Uma relação em um conjunto  é chamada de relação de equivalência quando for reflexiva, simétrica e t...

Alternativa B - A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa

Introdução

Uma relação de equivalência deve cumprir três propriedades: Reflexividade, Simetria e Transitividade. A relação proposta é: xRy se, e somente se, (x² - y²) é múltiplo de 4.

Desenvolvimento

Vamos verificar as propriedades:

1. Reflexiva: xRx → (x² - x²) = 0. Como 0 é múltiplo de 4 (0 = 4 × 0), a relação é reflexiva.
2. Simétrica: Se xRy, então (x² - y²) = 4k. Logo, (y² - x²) = -(x² - y²) = -4k = 4(-k). Como -k é inteiro, é simétrica.
3. Transitiva: Se xRy e yRz, então (x² - y²) = 4k e (y² - z²) = 4m. Somando: (x² - y²) + (y² - z²) = x² - z² = 4(k + m). Logo, é transitiva. A asserção I é Verdadeira.

Análise

A asserção II afirma que a relação é de equivalência PORQUE (x² - y²) é sempre múltiplo de 4 para quaisquer x, y ∈ Z. Isso é Falso. Por exemplo, se x = 2 e y = 1, temos 2² - 1² = 4 - 1 = 3, que NÃO é múltiplo de 4. A relação só existe para os pares que satisfazem a condição, não para todos os elementos do conjunto.

Conclusão

A primeira afirmação é um fato matemático correto, mas a justificativa apresentada na segunda afirmação contém um erro de generalização ("para quaisquer x, y").

Alternativa B.