Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas e assinale a opção correta: I. 9 é divisor de 10n – 1, para todo valor de n natural. II. 3 é divisor de 10n – 1, para

A resposta correta é: “Todas as afirmações são verdadeiras” Justificativa: I. Verdadeira. Pode-se mostrar por indução. Observe: Para n = 1, temos que 10¹ - 1 = 9. Como 9 divide ele mesmo, vale para esse caso. Para n > 1, aceitamos que 9 seja um divisor de 10ⁿ - 1. Queremos provar que 9 é também divisor de 10^(n + 1) - 1. Observe que: 10^(n + 1) - 1 = 10ⁿ · 10 - 1 = = 10ⁿ · (9 + 1) - 1 = = 10ⁿ · 9 + 10ⁿ - 1 Como 9 divide 10ⁿ · 9 e também divide 10ⁿ - 1, segue que 9 divide a soma: 10ⁿ · 9 + 10ⁿ - 1 Portanto, como temos que 10ⁿ · 9 + 10ⁿ - 1 = 10^(n + 1) - 1, segue que 9 divide 10^(n + 1) - 1, como queríamos provar. II. Verdadeira. Como 3 divide 9 e por I. 9 divide 10n-1, então 3 também divide.