No estudo de vetores, é fundamental compreender as operações básicas e suas propriedades, para compr...

Question

No estudo de vetores, é fundamental compreender as operações básicas e suas propriedades, para compreender como a lógica acontece por meio dos vetores. A lei comutativa e a lei associativa são duas dessas propriedades essenciais que permitem manipular vetores de maneira flexível e eficiente. A lei comutativa permite a troca da ordem dos vetores na adição sem alterar o resultado, enquanto a lei associativa permite a reagrupação dos termos em uma soma de vetores, também sem alterar o resultado final.

Com base no apresentado, observe as afirmativas a seguir considerando as propriedades da lei comutativa e da lei associativa na adição de vetores.

I. Se a, b, e c são vetores, então a + b = b + a devido à lei comutativa. II. Se a, b, e c são vetores, então a + (b + c) = (a + b) + c devido à lei associativa. III. A lei comutativa aplicada a três vetores a, b, e c implica que a + b + c = c + b + a. IV. A lei associativa permite que a + b = b + c se a = c.

Está correto o que se afirma em:

Calculadora Univesp Gabarito · Accepted Answer

A resposta correta é a alternativa D: I, II e III. apenas.

Marcone Magalhaes · Answer

**Alternativa D** - I, II e III. apenas.

### Introdução
A compreensão das propriedades fundamentais da adição de vetores é crucial para qualquer estudo em física, engenharia ou matemática. Entre essas propriedades, a lei comutativa e a lei associativa destacam-se por garantir flexibilidade na manipulação e simplificação de expressões vetoriais. A lei comutativa define que a ordem dos operandos na adição não altera o resultado, enquanto a lei associativa estabelece que o agrupamento dos operandos em uma adição também não afeta o resultado final. Esta questão avalia a correta aplicação e interpretação dessas leis.

### Desenvolvimento
A adição de vetores, seja geometricamente (regra do paralelogramo ou do polígono) ou algebricamente (somando componentes correspondentes), é uma operação binária que possui certas propriedades inerentes. As duas propriedades em foco são:

1.  **Lei Comutativa da Adição de Vetores**: Para quaisquer dois vetores `a` e `b`, a ordem em que são adicionados não altera o vetor resultante. Matematicamente, isso é expresso como `a + b = b + a`.
2.  **Lei Associativa da Adição de Vetores**: Para quaisquer três vetores `a`, `b` e `c`, a forma como eles são agrupados na adição não altera o vetor resultante. Matematicamente, isso é expresso como `a + (b + c) = (a + b) + c`.

Essas propriedades são análogas às propriedades da adição de números reais e são fundamentais para a manipulação algébrica de expressões vetoriais, permitindo reordenar e reagrupar termos conforme a necessidade sem alterar o resultado da operação.

### Análise
Vamos analisar cada uma das afirmativas propostas:

| Afirmativa | Descrição                                                                      | Análise                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           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| I.  | Se **a, b, e c** são vetores, então **a + b = b + a** devido à lei comutativa. | **Correta**. Esta é a definição exata da lei comutativa para a adição de dois vetores. Ela afirma que a ordem dos vetores pode ser trocada sem alterar o resultado da soma.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     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| II. | Se **a, b, e c** são vetores, então **a + (b + c) = (a + b) + c** devido à lei associativa. | **Correta**. Esta é a definição exata da lei associativa para a adição de três vetores. Ela permite reagrupar os vetores sem alterar a soma.

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Introdução

Desenvolvimento

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