A área total de um cubo de aresta 4 cm é igual à área lateral de um prisma reto de base quadrada, com 8 cm de altura, conforme mostram as figuras. O...

Alternativa (D) - 72 cm3.

Introdução

Esta questão aborda conceitos fundamentais de geometria espacial, envolvendo o cálculo de áreas e volumes de dois sólidos distintos: um cubo e um prisma reto de base quadrada. O ponto central da resolução é a relação estabelecida entre a área total do cubo e a área lateral do prisma, que permite determinar as dimensões do prisma e, consequentemente, seu volume.

Desenvolvimento

Para resolver o problema, é necessário seguir uma sequência lógica de cálculos, aplicando as fórmulas apropriadas para cada sólido geométrico.

1. Cálculo da Área Total do Cubo:

   • Um cubo é um poliedro com 6 faces quadradas idênticas.
   • A aresta (lado) do cubo (l) é dada como 4 cm.
   • A área de uma face quadrada é calculada por l × l = l².
   • Área de uma face = (4 cm)² = 16 cm².
   • A área total do cubo (A_cubo_total) é a soma das áreas das 6 faces: A_cubo_total = 6 × (Área de uma face) = 6 × 16 cm² = 96 cm².

2. Determinação da Área Lateral do Prisma:

   • O enunciado afirma que a área total do cubo é igual à área lateral do prisma.
   • Portanto, a Área Lateral do Prisma (A_prisma_lateral) = 96 cm².
   • O prisma é reto, tem base quadrada e altura (h) de 8 cm.
   • A área lateral de um prisma é calculada pelo produto do perímetro da base (P_base) pela altura (h).
   • Seja 'x' o lado da base quadrada do prisma. O perímetro da base será P_base = 4x.
   • Assim, A_prisma_lateral = P_base × h = (4x) × 8 cm.

3. Cálculo do Lado da Base do Prisma:

   • Substituindo os valores conhecidos na fórmula da área lateral do prisma: 96 cm² = (4x) × 8 cm 96 = 32x
   • Dividindo ambos os lados por 32 para encontrar 'x': x = 96 / 32 = 3 cm.
   • Portanto, o lado da base quadrada do prisma mede 3 cm.

4. Cálculo do Volume do Prisma:

   • O volume de um prisma (V_prisma) é obtido multiplicando-se a área da base (A_base) pela altura (h).
   • A base do prisma é um quadrado de lado x = 3 cm.
   • Área da base (A_base) = x × x = x² = (3 cm)² = 9 cm².
   • A altura do prisma (h) é 8 cm.
   • Volume do prisma (V_prisma) = A_base × h = 9 cm² × 8 cm = 72 cm³.

Análise

A tabela a seguir sumariza os cálculos e valida as etapas para chegar à solução correta, comparando com as alternativas fornecidas.

| Item | Descrição | Cálculo / Valor | Justificativa | | :------------------------------ | :-------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | Cubo | | | | | Aresta (l) | Medida do lado do cubo. | 4 cm | Dado no enunciado. | | Área de uma face | Área de um quadrado de lado 'l'. | l² = 4² = 16 cm² | Cálculo da área de cada face do cubo. | | Área total (A_cubo_total) | Soma das áreas das 6 faces. | 6 × 16 = 96 cm² | Esta é a conexão entre o cubo e o prisma. | | Prisma Reto | | | | | Altura (h) | Medida da altura do prisma. | 8 cm | Dado no enunciado. | | Tipo de base | Formato da base. | Quadrada | Implica que todos os lados da base são iguais. | | Área Lateral (A_prisma_lateral) | Área das faces laterais. | 96 cm² | Pelo enunciado, é igual à Área Total do Cubo. | | Lado da base (x) | Medida do lado da base quadrada. | Calculado como 3 cm | A_prisma_lateral = (4x) × h ⇒ 96 = 4x × 8 ⇒ 32x = 96 ⇒ x = 3 cm. | | Área da base (A_base) | Área do quadrado da base. | x² = 3² = 9 cm² | Necessário para o cálculo do volume. | | Volume do Prisma (V_prisma) | Produto da área da base pela altura. | A_base × h = 9 × 8 = 72 cm³ | Resultado final que corresponde a uma das alternativas. |

Analisando as alternativas:

• (A) 96 cm³: Este valor corresponde à área total do cubo e à área lateral do prisma, não ao volume do prisma.
• (B) 88 cm³: Não corresponde a nenhum cálculo derivado das informações.
• (C) 80 cm³: Não corresponde a nenhum cálculo derivado das informações.
• (D) 72 cm³: Este é o volume calculado do prisma, que está correto.
• (E) 64 cm³: Este valor seria o volume de um cubo de aresta 4 cm (4³ = 64), ou a área da base do prisma se o lado fosse 8 cm, mas não é o volume do prisma em questão.

Conclusão

A questão foi resolvida de forma didática, partindo do cálculo da área total do cubo, utilizando essa informação para determinar as dimensões desconhecidas do prisma e, finalmente, calculando seu volume. A compreensão das fórmulas de área e volume para sólidos geométricos é crucial para a resolução deste tipo de problema. O volume do prisma reto de base quadrada é 72 cm³.

Alternativa (D).