A reta r de equação y = 2x + 1 é paralela à reta s. Sabendo que a reta s passa pelo ponto (1, 5), sua equação pode ser dada por...

Alternativa A - y = 2x + 3

Introdução

Esta questão aborda o conceito de retas paralelas e a determinação da equação de uma reta no plano cartesiano. Duas retas são paralelas se e somente se possuem o mesmo coeficiente angular (inclinação). Para encontrar a equação completa de uma reta, precisamos conhecer seu coeficiente angular e um ponto pelo qual ela passa.

Desenvolvimento

A equação geral de uma reta é dada por y = mx + b, onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (o ponto onde a reta intercepta o eixo y).

1. Coeficiente Angular (m): A reta r tem equação y = 2x + 1. Comparando com a forma geral y = mx + b, vemos que o coeficiente angular da reta r é m_r = 2. Como a reta s é paralela à reta r, elas devem ter o mesmo coeficiente angular. Portanto, o coeficiente angular da reta s é m_s = m_r = 2. A equação da reta s terá a forma y = 2x + b_s.

2. Coeficiente Linear (b_s): Sabemos que a reta s passa pelo ponto (1, 5). Isso significa que quando x = 1, y = 5. Podemos substituir esses valores na equação da reta s (y = 2x + b_s) para encontrar b_s. 5 = 2 × (1) + b_s 5 = 2 + b_s b_s = 5 - 2 b_s = 3

3. Equação da reta s: Agora que temos o coeficiente angular (m_s = 2) e o coeficiente linear (b_s = 3), podemos escrever a equação completa da reta s. y = 2x + 3

Análise

Vamos verificar as opções (assumindo que a alternativa A corresponde a y = 2x + 3 ou uma forma equivalente como 2x - y + 3 = 0):

• Alternativa A: y = 2x + 3.

  • O coeficiente angular é 2, o que é consistente com a reta r (paralela).
  • Verificando se o ponto (1, 5) pertence a esta reta: 5 = 2(1) + 3 => 5 = 2 + 3 => 5 = 5. O ponto pertence à reta.
  • Portanto, esta é a equação correta.

• As outras alternativas, se tivessem coeficientes angulares diferentes de 2, seriam automaticamente incorretas, pois não seriam paralelas à reta r. Se tivessem o mesmo coeficiente angular mas não passassem pelo ponto (1,5), também seriam incorretas.

Comparativo:

| Característica | Reta r (y = 2x + 1) | Reta s (y = 2x + 3) | | :-------------------- | :------------------ | :------------------ | | Coeficiente Angular | 2 | 2 | | Ponto de Passagem | (Não especificado) | (1, 5) | | Condição de Paralelismo | m_r = 2 | m_s = 2 | | Verificação Ponto (1,5) | 5 ≠ 2(1) + 1 (5 ≠ 3) | 5 = 2(1) + 3 (5 = 5) |

Conclusão

Pela condição de paralelismo, a reta s deve ter o mesmo coeficiente angular da reta r, que é 2. Utilizando o ponto (1, 5) pelo qual a reta s passa, calculamos o coeficiente linear, resultando na equação y = 2x + 3.

Alternativa A.