A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética é 65. Sabendo que o 5o termo é 19, o valor do 1o termo dessa progressão é...

Alternativa (B) - 7.

Introdução

A questão proposta exige o conhecimento das propriedades e fórmulas de uma Progressão Aritmética (PA). Especificamente, ela nos desafia a encontrar o primeiro termo (a₁) de uma PA, dadas a soma dos seus primeiros cinco termos (S₅) e o valor do seu quinto termo (a₅). A resolução baseia-se na aplicação da fórmula da soma dos termos de uma PA.

Desenvolvimento

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é constante, e essa diferença é conhecida como a razão (r) da PA. Para resolver este problema, utilizamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, que é expressa como:

Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)

Onde:

• Sₙ representa a soma dos n primeiros termos.
• n é o número de termos que estão sendo somados.
• a₁ é o primeiro termo da PA.
• aₙ é o n-ésimo termo da PA.

No contexto desta questão, temos as seguintes informações:

1. A soma dos 5 primeiros termos (S₅) é igual a 65.
2. O número de termos (n) é 5.
3. O 5º termo (a₅) é igual a 19. Nosso objetivo é encontrar o valor do 1º termo (a₁).

Análise

Vamos aplicar a fórmula da soma dos n primeiros termos com os dados fornecidos:

1. Substituir os valores conhecidos na fórmula da soma: S₅ = 5/2 × (a₁ + a₅) 65 = 5/2 × (a₁ + 19)

2. Isolar o termo (a₁ + 19): Para simplificar a equação, podemos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o denominador: 65 × 2 = 5 × (a₁ + 19) 130 = 5 × (a₁ + 19)

   Agora, dividimos ambos os lados por 5 para isolar a expressão dentro do parênteses: 130 / 5 = a₁ + 19 26 = a₁ + 19

3. Determinar o valor de a₁: Para encontrar a₁, subtraímos 19 de ambos os lados da equação: a₁ = 26 - 19 a₁ = 7

Comparativo das Alternativas:

| Alternativa | Valor do 1º Termo (a₁) | Análise | | :---------- | :--------------------- | :------ | | (A) | 6 | Incorreta. Não corresponde ao valor calculado. | | (B) | 7 | Correta. Este é o valor obtido pela aplicação da fórmula da soma. | | (C) | 8 | Incorreta. Não corresponde ao valor calculado. | | (D) | 9 | Incorreta. Não corresponde ao valor calculado. | | (E) | 10 | Incorreta. Não corresponde ao valor calculado. |

O resultado obtido (a₁ = 7) corresponde exatamente à alternativa (B). Vale ressaltar que, se fosse necessário, poderíamos calcular a razão (r) da PA utilizando a fórmula do termo geral (aₙ = a₁ + (n - 1) × r) após encontrar a₁: 19 = 7 + (5 - 1) × r ⇒ 19 = 7 + 4r ⇒ 12 = 4r ⇒ r = 3. No entanto, para a pergunta específica, o cálculo de a₁ já é suficiente.

Conclusão

A partir da aplicação da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)) e da substituição dos valores fornecidos no enunciado (S₅ = 65, n = 5, a₅ = 19), conseguimos isolar e calcular o valor do primeiro termo (a₁). O resultado da operação algébrica foi a₁ = 7, confirmando que a alternativa (B) é a resposta correta para a questão.

Alternativa (B).