Considere as funções f(x) = x – k e g(x) = x2 – 4x + k, em que k é um número real. Sabendo que f(−1) = 3 ⋅ g(1), o valor de g(k) é igual a...

Alternativa (B) -2

Introdução

A questão proposta envolve a manipulação e avaliação de funções polinomiais de primeiro e segundo grau, f(x) e g(x), respectivamente. O objetivo é determinar o valor de uma constante real 'k' a partir de uma condição dada envolvendo as funções, e então utilizar esse valor para calcular g(k). Este problema testa a compreensão da notação de funções, avaliação de expressões algébricas e resolução de equações lineares.

Desenvolvimento

As funções dadas são:

1. f(x) = x – k
2. g(x) = x² – 4x + k

A condição fornecida é f(−1) = 3 ⋅ g(1).

Primeiro, vamos calcular f(−1) substituindo x = −1 na função f(x): f(−1) = (−1) – k f(−1) = −1 – k

Em seguida, vamos calcular g(1) substituindo x = 1 na função g(x): g(1) = (1)² – 4(1) + k g(1) = 1 – 4 + k g(1) = −3 + k

Agora, aplicamos a condição f(−1) = 3 ⋅ g(1): −1 – k = 3 ⋅ (−3 + k)

Distribuímos o 3 no lado direito da equação: −1 – k = −9 + 3k

Para encontrar o valor de k, agrupamos os termos com k de um lado e os termos constantes do outro: −1 + 9 = 3k + k 8 = 4k

Dividimos por 4 para isolar k: k = 8 ÷ 4 k = 2

Com o valor de k = 2, podemos agora determinar g(k). Como k = 2, precisamos calcular g(2). Substituímos x = 2 e k = 2 na função g(x) = x² – 4x + k: g(2) = (2)² – 4(2) + 2 g(2) = 4 – 8 + 2 g(2) = −4 + 2 g(2) = −2

Análise

A resolução da questão seguiu um caminho lógico e sequencial, que é crucial em problemas envolvendo múltiplas etapas de cálculo e substituição.

1. Avaliação de f(−1): A substituição de x = −1 em f(x) = x – k resulta em f(−1) = −1 – k. Este passo é direto e geralmente não apresenta dificuldades.
2. Avaliação de g(1): A substituição de x = 1 em g(x) = x² – 4x + k resulta em g(1) = 1 – 4 + k = −3 + k. É importante ter atenção aos sinais e à ordem das operações (potenciação antes da multiplicação).
3. Formulação e resolução da equação para k: A condição f(−1) = 3 ⋅ g(1) levou à equação −1 – k = 3 ⋅ (−3 + k). A etapa crítica aqui é a correta distribuição do fator 3 sobre todos os termos dentro do parênteses (−3 + k), resultando em −9 + 3k. A reorganização dos termos para resolver a equação linear (8 = 4k) e encontrar k = 2 é fundamental. Erros comuns podem incluir falha na distribuição ou erros de sinal ao mover termos entre os lados da equação.
4. Avaliação final de g(k): Com k = 2, o problema se resume a calcular g(2). Substituímos x = 2 E k = 2 na função g(x) = x² – 4x + k. O resultado g(2) = 2² – 4(2) + 2 = 4 – 8 + 2 = −2.
   • Alternativa (B) −2: Esta é a resposta obtida através dos cálculos corretos.
   • Outras alternativas: As alternativas (A) −3, (C) −1, (D) 1, e (E) 2 resultariam de erros em qualquer uma das etapas, como um cálculo incorreto de k, uma substituição errada na etapa final, ou erros aritméticos. Por exemplo, se k fosse erroneamente calculado como 3, g(3) = 3² – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0, que não é nenhuma das alternativas. Se houvesse um erro em g(1) ou na equação de k, os valores finais seriam diferentes.

A tabela a seguir resume as etapas cruciais:

| Etapa | Cálculo | Resultado | | :---------------------------------- | :----------------------------------------- | :-------------------- | | 1. Calcular f(−1) | f(−1) = (−1) – k | −1 – k | | 2. Calcular g(1) | g(1) = (1)² – 4(1) + k | −3 + k | | 3. Usar a condição f(−1) = 3 ⋅ g(1) | −1 – k = 3 ⋅ (−3 + k) | k = 2 | | 4. Calcular g(k) com k=2 | g(2) = (2)² – 4(2) + 2 = 4 – 8 + 2 | −2 |

Conclusão

O problema foi resolvido com sucesso ao seguir uma metodologia clara de avaliação de funções, estabelecimento e resolução de uma equação linear para determinar o parâmetro 'k', e finalmente, a reavaliação da função g(x) com o valor de 'k' encontrado. O valor de k foi determinado como 2, e, substituindo esse valor na função g(x) para calcular g(k) (ou seja, g(2)), obteve-se o resultado de −2.

Alternativa (B).