Em um plano cartesiano, o ponto M (2, 3) pertence à reta r de equação y = 2x + b, em que b é um número real. Sabendo que a reta r intersecta a reta ...

Alternativa C - 2.

Introdução

Esta questão aborda conceitos fundamentais de geometria analítica, especificamente equações de retas no plano cartesiano. Serão aplicados conhecimentos sobre como determinar a equação de uma reta dado um ponto e seu coeficiente angular, e como encontrar o ponto de intersecção entre duas retas. O objetivo final é calcular a soma das coordenadas desse ponto de intersecção.

Desenvolvimento

No plano cartesiano, a equação geral de uma reta na forma reduzida é dada por y = mx + b, onde 'm' é o coeficiente angular (inclinação da reta) e 'b' é o coeficiente linear (o ponto onde a reta intercepta o eixo y).

1. Determinação da equação da reta r: A reta r tem a forma y = 2x + b e sabemos que o ponto M (2, 3) pertence a ela. Isso significa que, ao substituir as coordenadas de M na equação, a igualdade deve ser satisfeita. y = 2x + b 3 = 2(2) + b 3 = 4 + b b = 3 - 4 b = -1 Portanto, a equação completa da reta r é y = 2x - 1.

2. Encontro do ponto de intersecção P entre as retas r e s: O ponto de intersecção P é o único ponto (x, y) que satisfaz simultaneamente as equações de ambas as retas. Para encontrá-lo, igualamos as expressões de 'y' das duas equações: Reta r: y = 2x - 1 Reta s: y = -2x + 3 Igualando: 2x - 1 = -2x + 3 Agora, resolvemos para 'x': 2x + 2x = 3 + 1 4x = 4 x = 4 ÷ 4 x = 1 Com o valor de 'x', substituímos em qualquer uma das equações para encontrar 'y'. Usando a equação da reta r: y = 2(1) - 1 y = 2 - 1 y = 1 Assim, o ponto de intersecção P é (1, 1).

3. Cálculo da soma das coordenadas do ponto P: As coordenadas do ponto P são x = 1 e y = 1. A soma das coordenadas é x + y. Soma = 1 + 1 = 2.

Análise

Vamos analisar as etapas e as alternativas:

| Etapa | Detalhes da Solução | Resultado Parcial | | :---------------------------------- | :------------------------------------------------ | :------------------- | | 1. Determinar 'b' para a reta r | Substituir M(2,3) em y = 2x + b | b = -1 | | 2. Equação da reta r | y = 2x + b com b = -1 | y = 2x - 1 | | 3. Encontrar 'x' do ponto P | Igualar y de r e s: 2x - 1 = -2x + 3 | x = 1 | | 4. Encontrar 'y' do ponto P | Substituir x=1 em y = 2x - 1 (ou y = -2x + 3) | y = 1 | | 5. Ponto de intersecção P | Coordenadas (x, y) | P = (1, 1) | | 6. Soma das coordenadas de P | x + y | 1 + 1 = 2 |

• Alternativa A (0): Incorreta. Significaria que o ponto de intersecção seria a origem ou teria coordenadas opostas (ex: (1, -1)), o que não é o caso.
• Alternativa B (1): Incorreta. A soma das coordenadas de P é 2, não 1. Um erro comum poderia ser parar na coordenada x ou y.
• Alternativa C (2): Correta. Como demonstrado, a soma das coordenadas (1 + 1) resulta em 2.
• Alternativa D (3): Incorreta. Este valor corresponde à coordenada y do ponto M ou ao coeficiente linear da reta s, mas não à soma das coordenadas de P.
• Alternativa E (4): Incorreta. Não há passo que leve a este resultado.

Conclusão

A partir da identificação do coeficiente linear 'b' da reta r e, consequentemente, da sua equação completa, foi possível determinar as coordenadas do ponto de intersecção P entre as retas r e s. Ao resolver o sistema de equações formado pelas duas retas, encontramos P(1, 1). A soma das coordenadas desse ponto P é 1 + 1 = 2. Este processo demonstra a aplicação prática das equações de retas e seus pontos de intersecção na geometria analítica.

Alternativa C.