Em uma caixa há 7 canetas azuis, 5 vermelhas e 3 verdes. Retirando-se aleatoriamente duas canetas dessa caixa, uma após a outra e sem reposição, a p...

Alternativa (C) - 13/35

Introdução

A questão proposta envolve o cálculo de probabilidade em um cenário de amostragem sem reposição, um tópico fundamental em estatística e probabilidade. Especificamente, pede-se a probabilidade de que "pelo menos uma" das duas canetas retiradas de uma caixa seja de uma cor específica (verde). Problemas que envolvem "pelo menos um" são frequentemente resolvidos de forma mais eficiente utilizando-se o conceito de evento complementar.

Desenvolvimento

Temos uma caixa contendo as seguintes canetas:

• 7 canetas azuis
• 5 canetas vermelhas
• 3 canetas verdes O total de canetas na caixa é de 7 + 5 + 3 = 15 canetas.

Serão retiradas duas canetas, uma após a outra, e sem reposição. Isso significa que a probabilidade da segunda retirada é influenciada pelo resultado da primeira. O objetivo é encontrar a probabilidade de que "pelo menos uma" das duas canetas retiradas seja verde.

O evento "pelo menos uma caneta ser verde" abrange as seguintes possibilidades:

1. A primeira caneta é verde e a segunda não é verde.
2. A primeira caneta não é verde e a segunda é verde.
3. Ambas as canetas são verdes.

Somar as probabilidades dessas três ocorrências pode ser um processo mais longo. Uma abordagem mais simples e eficaz é utilizar o evento complementar. O evento complementar de "pelo menos uma caneta ser verde" é "nenhuma caneta ser verde" (ou seja, ambas as canetas retiradas não são verdes). Seja P(A) a probabilidade de que "pelo menos uma caneta seja verde". Então, P(A) = 1 - P(não A), onde P(não A) é a probabilidade de que "nenhuma caneta seja verde".

Vamos calcular P(não A), ou seja, a probabilidade de que nenhuma das canetas retiradas seja verde:

• Número de canetas não verdes = Canetas azuis + Canetas vermelhas = 7 + 5 = 12 canetas.

1. Probabilidade da primeira caneta não ser verde (P_NG1): Há 12 canetas não verdes em um total de 15 canetas. P_NG1 = 12 / 15

2. Probabilidade da segunda caneta não ser verde, dado que a primeira já não foi verde (P_NG2|NG1): Após retirar uma caneta não verde na primeira vez, restam 14 canetas na caixa. Dessas 14 canetas, agora há 11 canetas não verdes (pois uma caneta não verde foi removida). P_NG2|NG1 = 11 / 14

3. Probabilidade de ambas as canetas não serem verdes (P_NENHUMA_VERDE): P_NENHUMA_VERDE = P_NG1 × P_NG2|NG1 P_NENHUMA_VERDE = (12 / 15) × (11 / 14)

Podemos simplificar as frações antes de multiplicar:

• 12 / 15 = (3 × 4) / (3 × 5) = 4 / 5
• 11 / 14 (não simplifica)

Então, P_NENHUMA_VERDE = (4 / 5) × (11 / 14) P_NENHUMA_VERDE = (4 × 11) / (5 × 14) P_NENHUMA_VERDE = 44 / 70

Simplificando a fração 44 / 70, dividindo o numerador e o denominador por 2: P_NENHUMA_VERDE = 22 / 35

Finalmente, calculamos a probabilidade do evento original ("pelo menos uma caneta ser verde"): P_PELO_MENOS_UMA_VERDE = 1 - P_NENHUMA_VERDE P_PELO_MENOS_UMA_VERDE = 1 - (22 / 35) P_PELO_MENOS_UMA_VERDE = (35 / 35) - (22 / 35) P_PELO_MENOS_UMA_VERDE = (35 - 22) / 35 P_PELO_MENOS_UMA_VERDE = 13 / 35

Análise

Vamos comparar nosso resultado com as alternativas fornecidas:

| Alternativa | Valor Fracionário | Valor Decimal Aproximado | Análise | | :---------- | :---------------- | :----------------------- | :-------------------------- | | (A) | 8/35 | 0,228 | Incorreta. | | (B) | 2/7 | 0,285 (equivalente a 10/35) | Incorreta. | | (C) | 13/35 | 0,371 | Correta, coincide com o cálculo. | | (D) | 2/5 | 0,400 (equivalente a 14/35) | Incorreta. | | (E) | 3/7 | 0,428 (equivalente a 15/35) | Incorreta. |

A análise demonstra que o valor calculado, 13/35, corresponde exatamente à alternativa (C). O método do evento complementar simplifica consideravelmente o processo, evitando o cálculo e a soma de três probabilidades separadas.

Conclusão

A probabilidade de que pelo menos uma das duas canetas retiradas aleatoriamente e sem reposição da caixa seja verde é de 13/35. Este resultado foi obtido de forma eficiente utilizando o princípio do evento complementar, que é uma ferramenta poderosa para resolver problemas de probabilidade envolvendo a expressão "pelo menos um".

Alternativa (C).