Em uma papelaria, os valores de uma caixa de lápis, de um caderno, de um fichário e de uma agenda, nesta ordem, formam uma progressão aritmética cuj...

Alternativa (C) - R$ 20,00.

Introdução

A questão proposta exige a aplicação dos conceitos de Progressão Aritmética (PA) para determinar o valor de um item específico (fichário) dentro de uma sequência de quatro valores que formam essa progressão. São fornecidas a soma total dos termos e uma relação entre a razão da PA e um de seus termos, o que permite a construção de um sistema de equações para encontrar os valores desconhecidos.

Desenvolvimento

Uma Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa constante é chamada de razão (r). Sejam os valores dos itens:

• a₁: valor da caixa de lápis
• a₂: valor do caderno
• a₃: valor do fichário
• a₄: valor da agenda

Como esses valores formam uma PA, podemos expressá-los em função do primeiro termo (a₁) e da razão (r):

• a₁ = a₁
• a₂ = a₁ + r
• a₃ = a₁ + 2r
• a₄ = a₁ + 3r

O problema informa que a soma desses quatro termos é R$ 72,00. A fórmula da soma de n termos de uma PA é S_n = n/2 × [2a₁ + (n-1)r]. Para n=4: S₄ = 4/2 × [2a₁ + (4-1)r] 72 = 2 × [2a₁ + 3r] Dividindo ambos os lados por 2, obtemos a primeira equação: 36 = 2a₁ + 3r (Equação 1)

A segunda informação crucial é que a razão (r) dessa progressão é um quarto do valor do caderno. O valor do caderno é a₂. r = (1/4) × a₂ Sabemos que a₂ = a₁ + r. Substituindo a expressão de a₂ na equação da razão: r = (1/4) × (a₁ + r) Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados por 4: 4r = a₁ + r Subtraindo r de ambos os lados, obtemos a segunda equação: 3r = a₁ (Equação 2)

Agora temos um sistema de duas equações com duas variáveis (a₁ e r):

1. 2a₁ + 3r = 36
2. a₁ = 3r

Vamos substituir a Equação 2 na Equação 1 para encontrar o valor de r: 2(3r) + 3r = 36 6r + 3r = 36 9r = 36 r = 36 ÷ 9 r = 4

Com o valor da razão (r = 4), podemos encontrar o valor de a₁ utilizando a Equação 2: a₁ = 3r a₁ = 3 × 4 a₁ = 12

Agora que conhecemos a₁ = 12 e r = 4, podemos calcular o valor de cada item:

• Valor da caixa de lápis (a₁) = R$ 12,00
• Valor do caderno (a₂) = a₁ + r = 12 + 4 = R$ 16,00
• Valor do fichário (a₃) = a₁ + 2r = 12 + 2×4 = 12 + 8 = R$ 20,00
• Valor da agenda (a₄) = a₁ + 3r = 12 + 3×4 = 12 + 12 = R$ 24,00

Para verificar, a soma é 12 + 16 + 20 + 24 = 72, que está correto. A razão (4) é um quarto do valor do caderno (16), pois 4 = (1/4) × 16, o que também está correto. A questão pede o valor do fichário, que é a₃.

Análise

A tabela abaixo resume os valores calculados para cada item e compara com as alternativas fornecidas:

| Item | Termo da PA | Valor Calculado | Alternativa Correspondente | Avaliação | | :---------- | :---------- | :-------------- | :------------------------- | :-------- | | Lápis | a₁ | R$ 12,00 | - | - | | Caderno | a₂ | R$ 16,00 | (A) | Incorreta, pois a questão pede o valor do fichário. | | Fichário | a₃ | R$ 20,00 | (C) | Correta, corresponde ao valor calculado para o fichário. | | Agenda | a₄ | R$ 24,00 | (E) | Incorreta, pois a questão pede o valor do fichário. |

As alternativas (B) R$ 18,00 e (D) R$ 22,00 não correspondem a nenhum dos valores dos termos calculados na progressão. A alternativa (A) R$ 16,00 representa o valor do caderno, e a alternativa (E) R$ 24,00 representa o valor da agenda. Apenas a alternativa (C) R$ 20,00 corresponde ao valor do fichário (a₃).

Conclusão

Ao empregar as propriedades das Progressões Aritméticas e resolver o sistema de equações resultante das condições do problema, determinou-se que a razão da PA é R$ 4,00 e o primeiro termo (lápis) é R$ 12,00. Com base nesses valores, calculou-se o valor de cada item. O valor do fichário, que corresponde ao terceiro termo da progressão, é R$ 20,00.

Alternativa (C).