Em uma residência, a escada da sala forma com a parede um vão livre, no qual foram colocadas 3 prateleiras (P1, P2 e P3) paralelas ao chão e equidis...

Alternativa B - 6 m.

Introdução

A questão apresentada envolve conceitos de geometria plana, especificamente a aplicação de propriedades de triângulos semelhantes e o teorema de Tales, que permitem compreender a relação entre segmentos paralelos e equidistantes dentro de uma figura triangular. O arranjo das prateleiras, sendo paralelas ao chão e equidistantes entre si, é a chave para determinar seus comprimentos de forma sistemática.

Desenvolvimento

A figura mostra um vão triangular formado pela escada e a parede, no qual três prateleiras (P1, P2 e P3) são instaladas. É informado que as prateleiras são paralelas ao chão e equidistantes entre si.

1. Paralelismo: O fato de as prateleiras serem paralelas ao chão e, consequentemente, paralelas entre si, cria uma série de triângulos semelhantes dentro do vão. Se considerarmos o triângulo maior formado pela parede, o chão (onde P1 está) e a linha da escada, cada prateleira (P2 e P3) forma um triângulo menor semelhante ao triângulo maior, com seu topo na vértice superior do vão.
2. Equidistância: A informação de que as prateleiras são "equidistantes entre si" significa que a distância vertical entre P1 e P2 é a mesma que a distância vertical entre P2 e P3. Esta é uma condição fundamental que nos permite aplicar a propriedade das progressões aritméticas.
3. Progressão Aritmética: Quando segmentos paralelos são cortados por transversais e estão igualmente espaçados, seus comprimentos formam uma progressão aritmética (PA). No contexto deste problema, os comprimentos das prateleiras (L1, L2, L3) seguem essa propriedade.
   • L1 é o comprimento da prateleira P1.
   • L2 é o comprimento da prateleira P2.
   • L3 é o comprimento da prateleira P3.

No caso de três termos em uma progressão aritmética, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois termos. Ou seja, L2 = (L1 + L3) / 2.

Análise

Vamos aplicar os conceitos para resolver a questão.

• Comprimentos Conhecidos:

  • L1 (comprimento da prateleira P1) = 3 m
  • L3 (comprimento da prateleira P3) = 1 m

• Cálculo de L2: Como L1, L2 e L3 formam uma progressão aritmética, podemos encontrar L2: L2 = (L1 + L3) / 2 L2 = (3 m + 1 m) / 2 L2 = 4 m / 2 L2 = 2 m

• Soma dos Comprimentos: A questão pede a soma dos comprimentos das 3 prateleiras (P1 + P2 + P3), que é L1 + L2 + L3. Soma = 3 m + 2 m + 1 m Soma = 6 m

• Análise das Alternativas:

| Alternativa | Valor Proposto | Análise | | :---------- | :------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | (A) | 5 m | Incorreta. Este valor não corresponde à soma calculada de 6 m. | | (B) | 6 m | Correta. A soma dos comprimentos das prateleiras (3 m + 2 m + 1 m) é exatamente 6 m, conforme determinado pela progressão aritmética. | | (C) | 7 m | Incorreta. Este valor é superior à soma correta. | | (D) | 8 m | Incorreta. Este valor é significativamente superior à soma correta. | | (E) | 9 m | Incorreta. Este valor é o triplo do comprimento da menor prateleira e não se alinha com a progressão aritmética calculada. |

Conclusão

Com base nas propriedades da geometria euclidiana e das progressões aritméticas, a condição de que as prateleiras são paralelas e equidistantes nos permite determinar que seus comprimentos formam uma progressão aritmética. Com os comprimentos da prateleira mais longa (3 m) e da mais curta (1 m), calculamos que a prateleira do meio mede 2 m. A soma total dos comprimentos das três prateleiras é, portanto, 3 m + 2 m + 1 m = 6 m.

Alternativa B.