Em uma sala de aula, 35 das 40 cadeiras estão ocupadas. Se dois alunos entrarem nessa sala, o número de maneiras dis- tintas de eles escolherem as ca...

Alternativa B - 20.

Introdução

Esta questão aborda um problema de análise combinatória, especificamente a contagem de arranjos. Precisamos determinar o número de maneiras distintas que dois alunos podem escolher cadeiras vagas em uma sala, onde a ordem em que os alunos escolhem as cadeiras importa.

Desenvolvimento

Primeiro, vamos identificar o número de cadeiras vagas disponíveis.

• Número total de cadeiras na sala: 40
• Número de cadeiras ocupadas: 35
• Número de cadeiras vagas = Total de cadeiras - Cadeiras ocupadas
• Cadeiras vagas = 40 - 35 = 5

Agora, temos 5 cadeiras vagas e 2 alunos que irão se sentar nessas cadeiras. A questão pede o número de "maneiras distintas de eles escolherem as cadeiras". Isso implica que a ordem da escolha é importante, pois o aluno 1 sentado na cadeira X e o aluno 2 na cadeira Y é diferente do aluno 1 sentado na cadeira Y e o aluno 2 na cadeira X. Portanto, devemos usar o conceito de arranjo.

Um arranjo de n elementos tomados k a k é dado pela fórmula: A(n, k) = n! / (n - k)!

Onde:

• n é o número total de itens disponíveis (neste caso, 5 cadeiras vagas).
• k é o número de itens a serem escolhidos (neste caso, 2 alunos para as cadeiras).

Análise

Aplicando a fórmula do arranjo: Temos n = 5 (cadeiras vagas) e k = 2 (alunos). A(5, 2) = 5! / (5 - 2)! A(5, 2) = 5! / 3! A(5, 2) = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1) A(5, 2) = 5 × 4 A(5, 2) = 20

Outra forma de pensar é preencher as cadeiras sequencialmente:

• O primeiro aluno tem 5 opções de cadeiras vagas para escolher.
• Após o primeiro aluno escolher uma cadeira, sobram 4 cadeiras vagas.
• O segundo aluno tem, então, 4 opções de cadeiras vagas para escolher.
• O número total de maneiras distintas é o produto das opções: 5 × 4 = 20.

Vamos comparar com as outras alternativas:

• A: 25. (Incorreta, seria 5 × 5, o que implicaria que a mesma cadeira pudesse ser escolhida novamente ou que a ordem não importasse e fosse uma potência.)
• B: 20. (Correta, corresponde ao arranjo de 5 itens tomados 2 a 2.)
• C: 15. (Incorreta, não corresponde ao cálculo correto.)
• D: 10. (Incorreta, seria a combinação C(5, 2) = 5!/(2!3!) = 10, que seria o caso se a ordem dos alunos nas cadeiras não importasse, ou seja, se escolher {Cadeira A, Cadeira B} fosse o mesmo que escolher {Cadeira B, Cadeira A}. No entanto, a pergunta fala em "maneiras distintas de eles escolherem as cadeiras", o que sugere que a escolha do aluno 1 na cadeira A e aluno 2 na cadeira B é diferente de aluno 1 na cadeira B e aluno 2 na cadeira A. Se fosse combinação, a pergunta seria "o número de pares de cadeiras distintas que podem ser ocupadas".)
• E: 5. (Incorreta, seria o número de cadeiras vagas, ou a escolha de apenas um aluno.)

Conclusão

Ao identificar o número de cadeiras vagas e aplicar o conceito de arranjos (onde a ordem da escolha importa), determinamos que há 20 maneiras distintas para os dois alunos escolherem as cadeiras.

Alternativa B.