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Empresas on-line de investimentos costumam utilizar de recursos gráficos para mostrar a diferença nos ganhos de certos investimentos. Veja alguns exemplos: As funções que descrevem a projeção dos investimentos, em função do número t, em anos, escolhidas por um cliente são as seguintes: Investimento A => A(t) = 1 000 · (1,0085)t Investimento B => B(t) = 1 000 · (1,009)t Investimento C => C(t) = 1 000 · (1,01)t Das cinco simulações apresentadas, a que representa os três investimentos descritos anteriormente é a simulação
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Alternativa E - V.
A questão aborda a representação gráfica de funções exponenciais no contexto de investimentos financeiros, especificamente juros compostos. As empresas de investimento utilizam gráficos para ilustrar a evolução do capital ao longo do tempo, permitindo aos clientes visualizar o impacto da taxa de juros no crescimento de seus investimentos. Compreender as propriedades dessas funções é crucial para interpretar corretamente tais representações.
As funções apresentadas são do tipo exponencial, que descrevem o crescimento de um investimento sob o regime de juros compostos. A forma geral de uma função de juros compostos é F(t) = P · (1 + r)ᵗ, onde:
Para os investimentos dados:
Todos os investimentos começam com o mesmo capital inicial (P = 1 000) no tempo t = 0. A diferença no crescimento de cada investimento é determinada exclusivamente pela sua taxa de juros anual (r). Quanto maior a taxa de juros, mais rápido o investimento crescerá.
Comparando as taxas de juros: r_A = 0,85% r_B = 0,90% r_C = 1,00%
Claramente, temos a seguinte ordem de taxas de juros: r_A < r_B < r_C. Isso implica que, para qualquer t > 0, o Investimento A crescerá mais lentamente, o Investimento B terá um crescimento intermediário, e o Investimento C crescerá mais rapidamente. Assim, a relação esperada entre os montantes será: A(t) < B(t) < C(t) para todo t > 0.
As funções exponenciais com a mesma base e diferentes coeficientes multiplicativos (neste caso, o capital inicial P) podem se cruzar. No entanto, funções exponenciais com o mesmo capital inicial P mas diferentes bases (diferentes taxas de juros) não se cruzam para t > 0. Isso ocorre porque se A(t) = B(t) para algum t > 0, teríamos 1000 · (1,0085)ᵗ = 1000 · (1,009)ᵗ, o que simplifica para (1,0085)ᵗ = (1,009)ᵗ. Essa igualdade só é verdadeira se as bases forem iguais (o que não é o caso) ou se t = 0 (onde todas as funções valem 1000). Portanto, para t > 0, a função com a maior base (maior taxa de juros) sempre estará acima da função com a menor base.
Analisando as simulações apresentadas:
| Simulação | Característica Principal da Representação Gráfica | Consistência com A(t), B(t), C(t) | Razão | | :-------- | :----------------------------------------------- | :-------------------------------- | :---- | | I | As curvas se cruzam em diversos pontos. | Inconsistente | Funções exponenciais com o mesmo P e bases distintas não se cruzam para t > 0. | | II | As curvas se cruzam em diversos pontos. | Inconsistente | Idem acima. | | III | As curvas se cruzam em diversos pontos. | Inconsistente | Idem acima. | | IV | As curvas se cruzam em diversos pontos. | Inconsistente | Idem acima. | | V | As curvas não se cruzam para t > 0, e mantêm a ordem de crescimento. | Consistente | A curva superior representa o maior crescimento (C(t)), a do meio o crescimento intermediário (B(t)), e a inferior o menor crescimento (A(t)), o que está de acordo com as taxas de juros. |
A Simulação V é a única que representa corretamente o comportamento das três funções de investimento. Nela, a curva mais alta representa o Investimento C (maior taxa), a curva intermediária o Investimento B (taxa média), e a curva mais baixa o Investimento A (menor taxa), e nenhuma das curvas se cruza após o ponto inicial (t=0).
A representação gráfica correta dos três investimentos, A(t), B(t) e C(t), deve exibir três curvas exponenciais que partem do mesmo ponto (1000 em t=0), não se cruzam para t > 0, e mantêm uma ordem consistente com suas taxas de crescimento. A curva correspondente ao investimento com a maior taxa de juros (C(t)) deve estar sempre acima, seguida pela do investimento com a taxa média (B(t)), e por último, a do investimento com a menor taxa (A(t)). A Simulação V é a única que satisfaz todas essas condições.
Alternativa E.