Nas salas de cinema de um shopping estão em cartaz 5 fil- mes diferentes. Duas amigas foram a esse shopping e de- cidiram assistir dois filmes naquele...

Alternativa D - 10.

Introdução

A questão aborda um problema clássico de análise combinatória, que envolve a determinação do número de maneiras distintas de selecionar um certo número de itens de um conjunto maior, sem que a ordem de seleção importe. Este tipo de problema é fundamental para o desenvolvimento do raciocínio lógico e matemático em diversas áreas.

Desenvolvimento

A análise combinatória é um ramo da matemática que estuda métodos de contagem. Em problemas como o apresentado, é crucial identificar se a ordem dos elementos importa ou não na contagem das possibilidades. Quando a ordem dos elementos não importa, estamos lidando com uma Combinação Simples. A fórmula para calcular o número de combinações de n elementos tomados k a k é dada por:

C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)

Onde:

• n é o número total de elementos disponíveis (neste caso, o número total de filmes).
• k é o número de elementos a serem escolhidos (neste caso, o número de filmes a serem assistidos).
• ! denota o fatorial de um número, ou seja, o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a esse número (ex: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1).

No contexto da questão, as duas amigas querem escolher dois filmes de um total de cinco. A ordem em que elas escolhem os filmes não altera a dupla de filmes que serão assistidos (escolher "Filme A" e depois "Filme B" é o mesmo que escolher "Filme B" e depois "Filme A"). Portanto, trata-se de um problema de combinação simples.

Análise

Dados do problema:

• Número total de filmes (n) = 5
• Número de filmes a serem escolhidos (k) = 2

Aplicando a fórmula da Combinação Simples: C(5, 2) = 5! / (2! × (5-2)!) C(5, 2) = 5! / (2! × 3!)

Calculando os fatoriais:

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 2! = 2 × 1 = 2
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6

Substituindo na fórmula: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) C(5, 2) = 120 / 12 C(5, 2) = 10

Portanto, existem 10 maneiras distintas de as amigas escolherem esses dois filmes.

Vamos analisar as alternativas:

• (A) 4: Este valor não corresponde a nenhuma operação lógica com os números 5 e 2 neste contexto.
• (B) 6: Este valor seria o resultado de 3! (3 × 2 × 1), mas não tem relação direta com a combinação de 5 elementos tomados de 2 em 2.
• (C) 8: Este valor não corresponde a nenhuma operação lógica com os números 5 e 2 neste contexto.
• (D) 10: Este é o resultado correto da combinação C(5, 2), como demonstrado.
• (E) 12: Este valor não corresponde a nenhuma operação lógica com os números 5 e 2 neste contexto. Se a ordem importasse (Arranjo Simples), o resultado seria A(5, 2) = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5 × 4 = 20, que é diferente de 12.

Conclusão

A questão exige o reconhecimento de um problema de combinação simples, onde a ordem dos elementos selecionados não altera o resultado final. Ao aplicar a fórmula da combinação para escolher 2 filmes de um total de 5, encontramos que há 10 maneiras distintas de fazer essa escolha.

Alternativa D.