O ponto A(x, 2) pertence ao gráfico da função f(x) = 3x – 4 e o ponto V(3, y) é o vértice da parábola descrita pela função g(x) = x2 – 6x + 5. A dis...

Alternativa C - √37 (Assumindo que esta é a opção C, pois o texto das opções está vazio)

Introdução

Esta questão exige a aplicação de conceitos de funções de primeiro e segundo grau, especificamente para encontrar coordenadas de pontos e, em seguida, calcular a distância entre esses dois pontos no plano cartesiano. Precisaremos determinar as coordenadas completas dos pontos A e V e, posteriormente, usar a fórmula da distância entre dois pontos.

Desenvolvimento

Vamos determinar as coordenadas completas de ambos os pontos A e V.

1. Determinação das coordenadas do ponto A(x, 2): O ponto A(x, 2) pertence ao gráfico da função f(x) = 3x – 4. Isso significa que quando y = 2, f(x) = 2. Substituímos f(x) por 2 na equação da função: 2 = 3x - 4 Para encontrar o valor de x: 2 + 4 = 3x 6 = 3x x = 6 / 3 x = 2 Portanto, o ponto A é (2, 2).

2. Determinação das coordenadas do ponto V(3, y) (vértice da parábola): O ponto V(3, y) é o vértice da parábola descrita pela função g(x) = x² – 6x + 5. Para uma função quadrática na forma g(x) = ax² + bx + c, as coordenadas do vértice (x_v, y_v) são dadas por: x_v = -b / (2a) y_v = g(x_v)

   Na função g(x) = x² – 6x + 5, temos a = 1, b = -6 e c = 5. Calculando x_v: x_v = -(-6) / (2 × 1) x_v = 6 / 2 x_v = 3 A coordenada x do vértice já é dada como 3 no ponto V(3, y), o que confirma nosso cálculo.

   Agora, calculamos y_v substituindo x_v = 3 na função g(x): y_v = g(3) = (3)² – 6(3) + 5 y_v = 9 – 18 + 5 y_v = -9 + 5 y_v = -4 Portanto, o ponto V é (3, -4).

3. Cálculo da distância entre os pontos A e V: Agora que temos A(2, 2) e V(3, -4), podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂): Distância = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

   Substituindo as coordenadas de A e V: Distância = √[(3 - 2)² + (-4 - 2)²] Distância = √[(1)² + (-6)²] Distância = √[1 + 36] Distância = √37

Análise

As coordenadas dos pontos foram determinadas como A(2, 2) e V(3, -4). Ao aplicar a fórmula da distância, obtivemos √37. A alternativa C (assumindo que o texto em branco corresponde a √37) é a que expressa esse resultado.

Valores calculados:

| Ponto | Coordenada x | Coordenada y | | :---- | :----------- | :----------- | | A | 2 | 2 | | V | 3 | -4 |

Cálculo da Distância: Δx = x_V - x_A = 3 - 2 = 1 Δy = y_V - y_A = -4 - 2 = -6 Distância² = (Δx)² + (Δy)² = (1)² + (-6)² = 1 + 36 = 37 Distância = √37

Conclusão

Determinamos as coordenadas completas dos pontos A e V usando as propriedades das funções linear e quadrática. Em seguida, aplicamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano, obtendo o valor de √37.

Alternativa C.