O quadrado ABCD é formado por 4 lajotas retangulares idênticas, L1, L2, L3 e L4, e pela lajota L5. As medidas, em centímetros, dos lados das quatro ...

Alternativa B - 64 cm².

Introdução

Esta questão envolve o cálculo de áreas e dimensões em figuras geométricas compostas. O desafio é relacionar as medidas das lajotas retangulares idênticas e da lajota central quadrada para determinar a área total de um quadrado maior. A chave está em interpretar corretamente como as dimensões das peças se somam ou se subtraem para formar as laterais das figuras.

Desenvolvimento

O problema apresenta um quadrado ABCD que é formado por quatro lajotas retangulares idênticas (L1, L2, L3 e L4) e uma lajota quadrada central (L5). As lajotas retangulares têm lados medindo x e 3x centímetros. A área da lajota L5 é dada como 16 cm².

Primeiramente, vamos determinar o lado da lajota L5. Por ser uma lajota quadrada, sua área é o lado ao quadrado:

• Área de L5 = Lado_L5 × Lado_L5
• 16 cm² = (Lado_L5)²
• Lado_L5 = √16 cm
• Lado_L5 = 4 cm

Agora, é crucial observar a relação entre o lado da lajota L5 e as dimensões das lajotas retangulares. Analisando a figura, percebemos que o lado da lajota quadrada L5 é obtido pela diferença entre o lado mais longo (3x) e o lado mais curto (x) das lajotas retangulares. Isso pode ser visualizado ao considerar que a dimensão horizontal (ou vertical) total da parte central é 3x, e subtraindo-se a parte x em uma extremidade, resta o lado de L5:

• Lado_L5 = 3x - x
• Lado_L5 = 2x

Sabendo que Lado_L5 = 4 cm, podemos igualar:

• 2x = 4 cm
• x = 4 cm ÷ 2
• x = 2 cm

Com o valor de x, podemos encontrar as dimensões das lajotas retangulares:

• Lado curto = x = 2 cm
• Lado longo = 3x = 3 × 2 = 6 cm

Em seguida, precisamos determinar o lado do quadrado ABCD. Olhando para a figura, o lado do quadrado ABCD é formado pela soma do lado curto (x) e do lado longo (3x) de uma das lajotas retangulares. Por exemplo, observando o lado AB (ou AD), ele é composto por um segmento de comprimento x e outro de comprimento 3x:

• Lado_ABCD = x + 3x
• Lado_ABCD = 4x

Substituindo o valor de x = 2 cm:

• Lado_ABCD = 4 × 2 cm
• Lado_ABCD = 8 cm

Finalmente, calculamos a área do quadrado ABCD:

• Área_ABCD = Lado_ABCD × Lado_ABCD
• Área_ABCD = (8 cm)²
• Área_ABCD = 64 cm²

Análise

Vamos detalhar os passos e a lógica:

1. Cálculo do lado de L5:

   • A lajota L5 é um quadrado com área de 16 cm². O lado de um quadrado é a raiz quadrada de sua área.
   • Lado_L5 = √16 = 4 cm.

2. Relação entre Lado_L5 e x:

   • A disposição das lajotas retangulares ao redor de L5 é crucial. O lado de L5 é a diferença entre o lado maior e o lado menor das lajotas retangulares idênticas. Da figura, a altura de uma lajota é 3x e sua largura é x. O lado de L5 é a parte da altura de 3x que não é ocupada por um 'x' de outra lajota ou, de outra forma, 3x - x = 2x.
   • Igualando os valores: 2x = 4 cm, resultando em x = 2 cm.

3. Cálculo das dimensões das lajotas retangulares:

   • Lado curto = x = 2 cm.
   • Lado longo = 3x = 3 × 2 = 6 cm.

4. Cálculo do lado do quadrado ABCD:

   • Observando o lado AB do quadrado maior, ele é claramente a soma do lado curto (x) de L1 (assumindo L1 tem largura x) e do lado longo (3x) de L2 (assumindo L2 tem altura 3x). De forma mais consistente, o lado do quadrado ABCD é composto pela soma do lado mais longo de uma lajota retangular e do lado mais curto de outra, adjacentes ao longo da borda externa.
   • Lado_ABCD = x + 3x = 4x.
   • Substituindo x = 2 cm, temos Lado_ABCD = 4 × 2 = 8 cm.

5. Cálculo da área de ABCD:

   • A área de um quadrado é o quadrado de seu lado.
   • Área_ABCD = (8 cm)² = 64 cm².

As outras alternativas estariam incorretas se houvesse um erro na determinação de x ou na fórmula para o lado do quadrado ABCD. Por exemplo, se o lado do quadrado fosse erroneamente considerado 3x (resultando em 36 cm²) ou 3x + 3x (resultando em 144 cm²), os resultados seriam diferentes.

Conclusão

Ao analisar a geometria da figura e utilizar a informação da área da lajota central L5, foi possível determinar o valor da variável x. Em seguida, as dimensões das lajotas retangulares e, consequentemente, o lado do quadrado ABCD foram calculados. A área do quadrado ABCD é 64 cm².

Alternativa B.