O quilograma é a última unidade a depender de um objeto concreto, chamado de Protótipo Internacional do Quilograma, conhecido também como “Le Grand ...

Alternativa B - 21,57 g/cm³.

Introdução

A questão aborda o cálculo da densidade de uma liga metálica, especificamente a que compõe o Protótipo Internacional do Quilograma ("Le Grand K"). Este problema é um excelente exemplo da aplicação do conceito de densidade em misturas, onde dois ou mais materiais com densidades e proporções diferentes são combinados para formar um novo material com uma densidade resultante. Compreender como a densidade se comporta em ligas é fundamental em diversas áreas da engenharia e da ciência dos materiais.

Desenvolvimento

A densidade (ρ) de um material é definida como a sua massa (m) dividida pelo seu volume (V), ou seja, ρ = m / V. Quando trabalhamos com ligas metálicas ou misturas, a densidade da liga é a massa total da mistura dividida pelo volume total da mistura.

Para uma liga composta por dois metais, M1 e M2: ρ_liga = (m₁ + m₂) / (V₁ + V₂)

Sabemos que V = m / ρ. Portanto, podemos expressar os volumes individuais em termos de suas massas e densidades: V₁ = m₁ / ρ₁ V₂ = m₂ / ρ₂

Substituindo estas expressões na fórmula da densidade da liga, obtemos: ρ_liga = (m₁ + m₂) / [(m₁ / ρ₁) + (m₂ / ρ₂)]

No problema dado:

• Metal 1 (M1) = Platina (Pt)
• Metal 2 (M2) = Irídio (Ir)
• Densidade da Platina (ρ_Pt) = 21,45 g/cm³
• Densidade do Irídio (ρ_Ir) = 22,65 g/cm³
• A quantidade de platina (m_Pt) é 9 vezes a quantidade de irídio (m_Ir), ou seja, m_Pt = 9 × m_Ir.

Vamos definir a massa de irídio como 'x'. Assim, m_Ir = x. Consequentemente, a massa de platina será m_Pt = 9x.

Agora, podemos substituir esses valores na fórmula da densidade da liga: Massa total da liga = m_Pt + m_Ir = 9x + x = 10x

Volume total da liga = V_Pt + V_Ir = (m_Pt / ρ_Pt) + (m_Ir / ρ_Ir) Volume total da liga = (9x / 21,45) + (x / 22,65)

Finalmente, a densidade da liga será: ρ_liga = (10x) / [(9x / 21,45) + (x / 22,65)]

Podemos fatorar 'x' do denominador: ρ_liga = (10x) / {x × [(9 / 21,45) + (1 / 22,65)]}

O termo 'x' pode ser cancelado, simplificando a equação: ρ_liga = 10 / [(9 / 21,45) + (1 / 22,65)]

Análise

Vamos calcular o valor da densidade da liga utilizando a fórmula derivada e os valores fornecidos:

1. Cálculo dos termos no denominador:

   • 9 / 21,45 ≈ 0,419580
   • 1 / 22,65 ≈ 0,044149

2. Soma dos termos no denominador:

   • 0,419580 + 0,044149 ≈ 0,463729

3. Cálculo da densidade da liga:

   • ρ_liga = 10 / 0,463729 ≈ 21,5647 g/cm³

Arredondando para duas casas decimais, obtemos 21,57 g/cm³.

Comparando com as alternativas:

| Alternativa | Valor (g/cm³) | Análise | | :---------- | :------------ | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | (A) | 21,46 | Incorreta. Este valor é muito próximo da densidade da platina, mas não representa a densidade da liga, que deve ser uma média ponderada. | | (B) | 21,57 | Correta. Este valor corresponde ao cálculo detalhado da densidade da liga, considerando as proporções de massa de platina e irídio e suas respectivas densidades. | | (C) | 21,65 | Incorreta. O cálculo não resulta neste valor. | | (D) | 21,88 | Incorreta. O cálculo não resulta neste valor. Este valor é uma média aritmética simples (21,45 + 22,65) / 2 = 22,05, mas a proporção não é igual. Se fosse, seria 22,05. Esta alternativa está incorreta. | | (E) | 22,05 | Incorreta. O cálculo não resulta neste valor. Este valor é a média aritmética simples (21,45 + 22,65) / 2 = 22,05, que seria a densidade se as massas (ou volumes, dependendo do contexto) fossem iguais, o que não é o caso aqui (9:1 massa). |

Conclusão

A densidade da liga metálica do Protótipo Internacional do Quilograma é calculada como uma média ponderada das densidades da platina e do irídio, considerando a proporção de suas massas. Ao aplicar corretamente a fórmula para a densidade de uma mistura, onde a massa total é dividida pelo volume total (sendo cada volume derivado da massa e densidade de cada componente), e ao substituir os valores e a relação de massa fornecidos (m_Pt = 9 × m_Ir), o resultado obtido é de aproximadamente 21,57 g/cm³. Este valor reflete a predominância da platina na composição da liga, o que faz com que a densidade da liga seja mais próxima da densidade da platina do que da densidade do irídio.

Alternativa B.