Três amigos, Bento, Caio e Edu, compararam as notas ob- tidas por eles nas provas de Matemática e de Português, sempre na ordem alfabética de seus no...

Alternativa B - 9.

Introdução

A questão aborda o conceito de progressões aritméticas (PA) em um contexto prático de notas de provas, exigindo a manipulação de suas propriedades para determinar valores desconhecidos. Serão utilizadas as definições de termos de uma PA, a fórmula da soma de termos e a resolução de equações para encontrar a nota específica solicitada.

Desenvolvimento

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão (r) da PA. Se considerarmos três termos consecutivos de uma PA como a₁, a₂ e a₃, temos que:

• a₂ = a₁ + r
• a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r

A soma (S_n) dos n primeiros termos de uma PA pode ser calculada pela fórmula S_n = n × (a₁ + a_n) / 2. No entanto, para três termos, a₁, a₂, a₃, a soma é simplesmente S₃ = a₁ + a₂ + a₃. Uma propriedade útil para três termos é que o termo do meio (a₂) é a média aritmética dos outros dois, ou seja, a₂ = (a₁ + a₃) / 2. Dessa forma, a soma pode ser expressa como S₃ = 3 × a₂.

No problema, temos duas progressões aritméticas, uma para as notas de Matemática e outra para as notas de Português, para três amigos (Bento, Caio e Edu) em ordem alfabética.

Notas de Matemática:

• Bento (M_B), Caio (M_C), Edu (M_E)
• Razão r_M = 2
• Portanto: M_C = M_B + 2 e M_E = M_C + 2

Notas de Português:

• Bento (P_B), Caio (P_C), Edu (P_E)
• Razão r_P = -1
• Portanto: P_C = P_B - 1 e P_E = P_C - 1

Informações adicionais:

1. A soma das notas da prova de Português foi 21: P_B + P_C + P_E = 21.
2. Caio obteve a mesma nota nas duas provas: M_C = P_C.

O objetivo é encontrar a maior nota da prova de Matemática, que corresponde a M_E.

Análise

Vamos resolver a questão passo a passo, utilizando as informações dadas:

1. Determinar as notas de Português: Sabemos que as notas de Português (P_B, P_C, P_E) formam uma PA de razão r_P = -1. Podemos expressar P_B e P_E em função de P_C:

   • P_B = P_C - r_P = P_C - (-1) = P_C + 1
   • P_E = P_C + r_P = P_C + (-1) = P_C - 1

   A soma das notas de Português é 21: P_B + P_C + P_E = 21 Substituindo P_B e P_E: (P_C + 1) + P_C + (P_C - 1) = 21 3 × P_C = 21 P_C = 21 / 3 P_C = 7

   Com P_C = 7, podemos encontrar as outras notas de Português:

   • P_B = 7 + 1 = 8
   • P_E = 7 - 1 = 6 As notas de Português são 8, 7 e 6. (Verificação: 8 + 7 + 6 = 21)

2. Determinar as notas de Matemática de Caio: A questão afirma que Caio obteve a mesma nota nas duas provas, ou seja, M_C = P_C. Como P_C = 7, então M_C = 7.

3. Determinar as notas de Matemática de Bento e Edu: As notas de Matemática (M_B, M_C, M_E) formam uma PA de razão r_M = 2. Já sabemos que M_C = 7.

   • M_E = M_C + r_M = 7 + 2 = 9
   • M_B = M_C - r_M = 7 - 2 = 5 As notas de Matemática são 5, 7 e 9.

4. Identificar a maior nota da prova de Matemática: As notas de Matemática são M_B = 5, M_C = 7 e M_E = 9. A maior nota da prova de Matemática é M_E = 9.

Comparativo das Alternativas:

| Alternativa | Valor | Análise | | :---------- | :---- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | (A) | 10 | Incorreta. Este valor não corresponde a nenhuma das notas calculadas para Matemática e não é o resultado da maior nota. | | (B) | 9 | Correta. Conforme nossos cálculos, a maior nota da prova de Matemática (M_E) é 9. | | (C) | 8 | Incorreta. 8 é a nota de Bento em Português (P_B). Não é a maior nota de Matemática. | | (D) | 7 | Incorreta. 7 é a nota de Caio em ambas as provas (M_C e P_C). Não é a maior nota de Matemática. | | (E) | 6 | Incorreta. 6 é a nota de Edu em Português (P_E). Não é a maior nota de Matemática. |

Conclusão

Através da aplicação das propriedades das progressões aritméticas, primeiramente determinamos a nota de Caio em Português usando a soma das notas dessa disciplina. Em seguida, utilizamos a informação de que Caio obteve a mesma nota em ambas as provas para encontrar sua nota em Matemática. Finalmente, aplicamos a razão da progressão aritmética de Matemática para calcular a nota de Edu, que representa a maior nota da prova de Matemática. A maior nota da prova de Matemática foi 9.

Alternativa B.