Três irmãos calçam números diferentes de sapatos. Se esses números forem colocados em ordem crescente, for- mam uma progressão aritmética, cuja soma ...

Alternativa D - 40

Introdução

A questão aborda o conceito de Progressão Aritmética (PA), uma sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Para resolver, é necessário aplicar as propriedades da soma dos termos de uma PA e a definição de sua estrutura para encontrar os valores desconhecidos.

Desenvolvimento

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, chamada razão (r). Se temos três termos em PA, podemos representá-los de forma estratégica para simplificar os cálculos.

Seja a PA (a₁, a₂, a₃), onde a₁ é o menor número, a₂ é o termo do meio e a₃ é o maior número. Podemos representar esses termos como:

• Primeiro termo: a₁ = x - r
• Segundo termo: a₂ = x
• Terceiro termo: a₃ = x + r

Onde 'x' é o termo do meio e 'r' é a razão da PA.

A questão nos fornece duas informações cruciais:

1. A soma dos termos da PA é 111.
2. A diferença entre o maior e o menor número é 6.

Vamos utilizar essas informações para encontrar os valores de 'x' e 'r'.

Análise

1. Utilizando a informação da soma dos termos: A soma dos três termos da PA é 111. (x - r) + x + (x + r) = 111 Ao somar, os termos '-r' e '+r' se cancelam: 3x = 111 Para encontrar o valor de 'x', dividimos 111 por 3: x = 111 ÷ 3 x = 37

   Portanto, o termo do meio (a₂) é 37.

2. Utilizando a informação da diferença entre o maior e o menor número: A diferença entre o maior termo (a₃) e o menor termo (a₁) é 6. a₃ - a₁ = 6 Substituindo pelas nossas representações: (x + r) - (x - r) = 6 x + r - x + r = 6 Os termos 'x' e '-x' se cancelam: 2r = 6 Para encontrar o valor de 'r', dividimos 6 por 2: r = 6 ÷ 2 r = 3

   Assim, a razão da PA é 3.

3. Determinando os números dos calçados: Agora que temos 'x = 37' e 'r = 3', podemos encontrar os três números:

   • Menor número (a₁): x - r = 37 - 3 = 34
   • Número do meio (a₂): x = 37
   • Maior número (a₃): x + r = 37 + 3 = 40

   Os números dos calçados são 34, 37 e 40.

4. Verificação:

   • Estão em PA? Sim, a diferença entre termos consecutivos é 3.
   • A soma é 111? 34 + 37 + 40 = 111. Sim.
   • A diferença entre o maior e o menor é 6? 40 - 34 = 6. Sim.

   A questão pede o número do maior calçado, que é 40.

5. Análise das Alternativas:

   • (A) 37: Este é o número do meio, não o maior. Incorreta.
   • (B) 38: Não corresponde a nenhum dos números encontrados. Incorreta.
   • (C) 39: Não corresponde a nenhum dos números encontrados. Incorreta.
   • (D) 40: Este é o maior número de calçado encontrado. Correta.
   • (E) 41: Não corresponde a nenhum dos números encontrados. Incorreta.

Conclusão

Ao aplicar as propriedades da Progressão Aritmética, utilizando uma representação estratégica para os três termos (x - r, x, x + r), e combinando as informações da soma total e da diferença entre o maior e o menor termo, foi possível determinar os três números que formam a PA. O maior desses números, que representa o maior calçado, é 40.

Alternativa D.