Uma escola de idiomas inaugurou nova unidade em uma cidade e está fazendo uma pesquisa com pessoas de 18 a 25 anos. Dos 150 participantes da pesquis...

Alternativa (A) - 8%.

Introdução

A questão aborda um cenário prático de probabilidade envolvendo conjuntos, mais especificamente a intersecção entre dois grupos de pessoas em uma pesquisa: as que estão trabalhando e as que estão estudando. Para resolver problemas como este, é fundamental compreender os conceitos de união e intersecção de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão, aplicados à contagem de eventos favoráveis dentro de um espaço amostral.

Desenvolvimento

A probabilidade de um evento é definida como a razão entre o número de resultados favoráveis a esse evento e o número total de resultados possíveis no espaço amostral, desde que todos os resultados sejam igualmente prováveis. No contexto de conjuntos, quando temos dois grupos (por exemplo, "trabalhando" e "estudando") dentro de um universo de participantes, podemos usar a teoria dos conjuntos para determinar o tamanho da intersecção entre eles.

Os dados fornecidos são:

• Número total de participantes da pesquisa (Espaço Amostral, N) = 150
• Número de participantes que estão trabalhando (T) = 83
• Número de participantes que estão estudando (E) = 55
• Número de participantes que não estão estudando nem trabalhando (Nenhum) = 24

O objetivo é encontrar a probabilidade de sortear uma pessoa que esteja trabalhando e estudando ao mesmo tempo, ou seja, a probabilidade da intersecção dos conjuntos T e E, P(T ∩ E).

Para isso, utilizaremos o Princípio da Inclusão-Exclusão, que estabelece que o número de elementos na união de dois conjuntos é dado por: |T ∪ E| = |T| + |E| - |T ∩ E|

Onde:

• |T ∪ E| representa o número de pessoas que estão trabalhando OU estudando (incluindo as que fazem ambos).
• |T| representa o número de pessoas que estão trabalhando.
• |E| representa o número de pessoas que estão estudando.
• |T ∩ E| representa o número de pessoas que estão trabalhando E estudando.

Primeiro, precisamos determinar o número de pessoas que estão trabalhando OU estudando (|T ∪ E|). Sabemos o total de participantes e o número de pessoas que não se enquadram em nenhuma das categorias (nem trabalhando, nem estudando). |T ∪ E| = N - |Nenhum| |T ∪ E| = 150 - 24 = 126

Agora, podemos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para encontrar |T ∩ E|: 126 = 83 + 55 - |T ∩ E| 126 = 138 - |T ∩ E| |T ∩ E| = 138 - 126 |T ∩ E| = 12

Portanto, 12 pessoas estão trabalhando e estudando ao mesmo tempo.

Finalmente, a probabilidade de sortear uma pessoa que esteja trabalhando e estudando é: P(T ∩ E) = (|T ∩ E|) / N P(T ∩ E) = 12 / 150

Para expressar isso em porcentagem, dividimos e multiplicamos por 100: P(T ∩ E) = 12 ÷ 150 = 0,08 P(T ∩ E) = 0,08 × 100% = 8%

Análise

Vamos analisar os passos e as alternativas:

1. Identificação do Espaço Amostral e Subconjuntos:

   • Total de participantes (N) = 150.
   • Trabalhando (|T|) = 83.
   • Estudando (|E|) = 55.
   • Nem Trabalhando nem Estudando (|(T ∪ E)'|) = 24.

2. Cálculo do número de pessoas que estão Trabalhando OU Estudando (|T ∪ E|):

   • Estas são as pessoas que não estão no grupo "nem trabalhando nem estudando".
   • |T ∪ E| = N - |(T ∪ E)'| = 150 - 24 = 126.

3. Cálculo do número de pessoas que estão Trabalhando E Estudando (|T ∩ E|):

   • Usando o Princípio da Inclusão-Exclusão: |T ∪ E| = |T| + |E| - |T ∩ E|.
   • 126 = 83 + 55 - |T ∩ E|.
   • 126 = 138 - |T ∩ E|.
   • |T ∩ E| = 138 - 126 = 12.

4. Cálculo da Probabilidade:

   • P(T ∩ E) = |T ∩ E| / N = 12 / 150.
   • P(T ∩ E) = 0,08 = 8%.

A análise das alternativas demonstra o porquê da alternativa (A) estar correta e as demais estarem incorretas:

| Alternativa | Valor | Análise da Razão de Incorreção | | :---------- | :---- | :------------------------------ | | (A) | 8% | Correta. Corresponde ao cálculo de (12 / 150) × 100%. | | (B) | 12% | Incorreta. Este valor não corresponde a nenhuma operação lógica direta com os dados fornecidos. Poderia ser um erro de cálculo, como 12 / 100. | | (C) | 36% | Incorreta. Não corresponde a nenhuma probabilidade relevante no problema. Por exemplo, seria 55/150 ≈ 36.6%, a probabilidade de apenas estudar se houvesse sobreposição de 0. | | (D) | 84% | Incorreta. Este valor representa a probabilidade de estar trabalhando OU estudando. P(T ∪ E) = 126 / 150 = 0,84 = 84%. A questão pede "e", não "ou". | | (E) | 92% | Incorreta. Este valor seria obtido se somássemos |T| e |E| e dividíssemos pelo total, sem considerar a sobreposição (83 + 55) / 150 = 138 / 150 = 0,92 = 92%. Esta soma conta a intersecção duas vezes e não representa a probabilidade de "e". |

Conclusão

A probabilidade de sortear uma pessoa que esteja trabalhando e estudando ao mesmo tempo é de 8%. A resolução da questão exigiu a aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão para determinar o número de elementos na intersecção de dois conjuntos, após inferir o tamanho da união a partir do total e do complemento. É um exemplo clássico de como a teoria dos conjuntos e a probabilidade se interligam para resolver problemas de contagem em situações do dia a dia.

Alternativa (A).