Considere a função . Identifique o domínio 𝐷(𝑓) e a imagem 𝐼𝑚(𝑓) da função 𝑓.

Alternativa C - D(f) = (-∞, -1) ∪ (1, ∞) e Im(f) = (0, ∞)

Introdução

O estudo de uma função real exige a determinação de dois conjuntos fundamentais: o domínio, que compreende todos os valores de x para os quais a função está definida, e a imagem, que representa o conjunto de todos os resultados possíveis de f(x).

Desenvolvimento

Para a função f(x) = 1 / √(x² - 1), devemos observar duas restrições matemáticas:

1. O radicando de uma raiz quadrada deve ser estritamente maior que zero quando está no denominador: x² - 1 > 0.
2. Não existe divisão por zero.

Análise

• Domínio: Resolvendo a inequação x² - 1 > 0, temos x² > 1. Isso resulta em |x| > 1, ou seja, x < -1 ou x > 1. Portanto, D(f) = (-∞, -1) ∪ (1, ∞).
• Imagem: Como o numerador é 1 (positivo) e o denominador é uma raiz quadrada (sempre positiva), f(x) nunca será zero ou negativo. À medida que x² - 1 se aproxima de 0 (quando x tende a 1 ou -1), o valor de f(x) cresce para o infinito. À medida que x cresce, f(x) se aproxima de 0. Assim, Im(f) = (0, ∞).

Conclusão

A análise das restrições de existência e do comportamento assintótico da função confirma que os intervalos de domínio e imagem correspondem aos apresentados na alternativa C.

Alternativa C.