Considere a função "raiz n-ésima de 𝑥” dada por 𝑓(𝑥) =  , em que 𝑛> 0 é um número natural. Calcu...

Alternativa C - 1/n × x^((1-n)/n)

Introdução

A derivação de funções raiz pode ser simplificada convertendo a raiz em uma potência com expoente fracionário e aplicando a Regra da Potência.

Desenvolvimento

A função dada é f(x) = ⁿ√x. Podemos reescrevê-la na forma de potência: f(x) = x^(1/n). A regra geral de derivação para f(x) = xᵃ é f'(x) = a × x^(a-1).

Análise

Aplicando a regra com a = 1/n: f'(x) = (1/n) × x^((1/n) - 1)

Para simplificar o expoente: (1/n) - 1 = (1/n) - (n/n) = (1 - n) / n.

Portanto, a derivada é: f'(x) = (1/n) × x^((1 - n) / n).

Conclusão

A expressão obtida através da regra da potência para expoentes fracionários corresponde exatamente à alternativa C.

Alternativa C.