Considere que uma função   é a função inversa de . Assim, temos que a definição da derivada da funçã...

Alternativa C - diferenciável, nunca, tem, todo.

Introdução

O Teorema da Função Inversa no cálculo diferencial estabelece as condições sob as quais uma função possui uma inversa que também é diferenciável. Ele conecta a derivada da função original com a derivada de sua inversa.

Desenvolvimento

A regra afirma que, se uma função f é diferenciável em um intervalo I e sua derivada f'(x) nunca é zero nesse intervalo, então a função f tem uma inversa g (f⁻¹) que também será diferenciável em todo ponto correspondente do intervalo J (imagem de f).

Análise

Preenchendo as lacunas conforme o rigor matemático:

1. Se f é diferenciável... (necessário para que possamos falar de derivadas).
2. ...e a derivada nunca é zero... (se a derivada for zero, a inclinação é horizontal e a inversa teria uma inclinação vertical/infinita, não sendo diferenciável).
3. ...então f tem uma inversa...
4. ...que é diferenciável em todo ponto do intervalo.

Isso corresponde exatamente à sequência da Alternativa C.

Conclusão

A diferenciabilidade da inversa depende diretamente da diferenciabilidade da função original e da garantia de que sua taxa de variação não seja nula.

Alternativa C.