Existem várias regras e técnicas que são utilizadas para encontrar as derivadas de funções. Também p...

Alternativa E - f'(x) = 30x² (2x³ + 4)⁴

Introdução

Nesta questão, temos uma função composta da forma f(x) = [u(x)]ⁿ. Para resolvê-la, devemos utilizar a Regra da Cadeia, que estabelece que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Desenvolvimento

Dada a função f(x) = (2x³ + 4)⁵:

1. Identificamos a função interna: u = 2x³ + 4.
2. Identificamos a função externa: y = u⁵.
3. Derivamos a função interna: u' = d/dx (2x³ + 4) = 6x² (usando a regra da potência).
4. Derivamos a função externa em relação a u: y' = 5u⁴.

Análise

Multiplicando os resultados conforme a Regra da Cadeia [f'(x) = n · uⁿ⁻¹ · u']: f'(x) = 5 · (2x³ + 4)⁴ · (6x²) Organizando os termos numéricos: f'(x) = (5 × 6x²) · (2x³ + 4)⁴ f'(x) = 30x² (2x³ + 4)⁴

Este resultado corresponde exatamente ao texto da Alternativa E.

Conclusão

Através da aplicação correta da Regra da Cadeia e da simplificação dos coeficientes, determinamos que a taxa de variação da função é 30x² (2x³ + 4)⁴.

Alternativa E.