Na matemática, o ideal é sempre encontrar respostas exatas. No entanto, em alguns problemas, nem sem...

Alternativa C - [Cálculo do Erro de Taylor]

Introdução

O Teorema de Taylor permite aproximar funções complexas por polinômios. O erro dessa aproximação, chamado de Resto de Lagrange, quantifica a diferença entre o valor real e o valor aproximado.

Desenvolvimento

Para a função f(x) = ln(x) no ponto a = 1 com ordem n = 2, o erro (Resto R₂) é dado por: R₂(x) = [f'''(c) / 3!] × (x - a)³ onde c está entre a e x.

Análise

1. f(x) = ln(x)
2. f'(x) = 1/x
3. f''(x) = -1/x²
4. f'''(x) = 2/x³ Para x = 1,01 e a = 1, temos (x - a) = 0,01 = 10⁻². O erro é R₂(1,01) = [ (2/c³) / 6 ] × (0,01)³ = [1 / (3c³)] × 10⁻⁶. Como c ≈ 1, o erro é aproximadamente (1/3) × 10⁻⁶ ≈ 3,33 × 10⁻⁷.

Conclusão

A alternativa C representa o cálculo correto do erro baseado na terceira derivada da função logarítmica aplicada à fórmula do resto de Taylor.

Alternativa C.