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O processo de integração envolve encontrar uma antiderivada da função que está sendo integrada. Uma antiderivada é uma função que, quando diferenciada, dá a função original. Isso significa que o processo de integração é essencialmente o inverso da diferenciação. Para realizar a integração, existem várias técnicas disponíveis, como substituição, integração por partes e frações parciais. A escolha da técnica depende da complexidade da função a ser integrada e das ferramentas disponíveis.
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta .
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Alternativa D - x sen x + cos x + C.
A técnica de Integração por Partes é derivada da regra do produto para derivadas e é útil para integrar produtos de funções.
A fórmula é: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Para ∫ x cos x dx: Escolhemos u = x → du = dx Escolhemos dv = cos x dx → v = sen x
Aplicando na fórmula: ∫ x cos x dx = (x)(sen x) - ∫ sen x dx Como a integral de sen x é -cos x: ∫ x cos x dx = x sen x - (-cos x) + C = x sen x + cos x + C.
Através da escolha correta de u e dv, a integral complexa foi reduzida a uma forma elementar.
Alternativa D.