Seja 𝑓(𝑥) função derivável. Com respeito à derivada da função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 𝑓(𝑥), é correto afirm...

Alternativa B - g′(x) = 2xf(x) + x²f′(x)

Introdução

A questão aborda um dos conceitos fundamentais do Cálculo Diferencial: a diferenciação de um produto de duas funções. Quando temos uma função composta pela multiplicação de outras duas funções deriváveis, não podemos simplesmente derivar cada uma isoladamente e multiplicar os resultados.

Desenvolvimento

Para derivar a função g(x) = x² f(x), devemos utilizar a Regra do Produto. A regra estabelece que, dadas duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por: (u · v)′ = u′ · v + u · v′

No caso da função g(x):

• Definimos u(x) = x²
• Definimos v(x) = f(x)

Calculando as derivadas individuais:

• u′(x) = 2x (utilizando a regra do tombo para potências)
• v′(x) = f′(x) (representação da derivada de f em relação a x)

Análise

Aplicando os termos na fórmula da Regra do Produto: g′(x) = (u′(x) · v(x)) + (u(x) · v′(x)) g′(x) = (2x) · f(x) + (x²) · f′(x)

Comparando com as alternativas:

• A: Incorreta. Esqueceu de somar o segundo termo da regra do produto.
• B: Correta. Aplica perfeitamente a fórmula da derivada do produto.
• C: Incorreta. Derivou apenas a segunda parte.
• D: Incorreta. Utilizou o sinal de subtração, que pertence à Regra do Quociente.
• E: Incorreta. O coeficiente do primeiro termo está errado (deveria ser 2x).

Conclusão

Portanto, seguindo rigorosamente a Regra do Produto para derivação, a expressão correta para a derivada de g(x) é 2xf(x) + x²f′(x).

Alternativa B.