Considere os seguintes critérios: Uma matriz A é estritamente diagonalmente dominante se ∑ i = 1j ≠ i(a_(ij)) O critério das linhas é satisfeito quando: max 1 ≤ i ≤ n∑ i = 1j ≠ i(a

Considere os seguintes critérios: Uma matriz A é estritamente diagonalmente dominante se ∑ i = 1j ≠ i(a_(ij)) O critério das linhas é satisfeito quando: max 1 ≤ i ≤ n∑ i = 1j ≠ i(a_(ij)^()) O critério de Sassenfeld é satisfeito quando: max 1 ≤ i ≤ nβᵢ Sabendo que o método de Gauss-Seidel, aplicado a um sistema linear Ax = b, converge se um dos critérios acima for satisfeito, verifique as afirmações abaixo com relação ao sistema Ax = b em que: A = (5, 1, 1; 3, 4, 1; 3, 3, 6) ; x = (x₁; x₂; x₃) ; b = (5; 6; 0) . I. A matriz dos coeficientes, A, é estritamente diagonalmente dominante. II. Pode-se garantir a convergência pelo método de Gauss-Seidel, pois o critério das linhas é satisfeito. III. A convergência pelo método de Gauss-Seidel está garantida, pois o critério de Sassenfeld é satisfeito. I. Falsa. Para ser estritamente diagonalmente dominante: (a₁₂) + (a₁₃) = (1) + (1) (ok) (a₂₁) + (a₂₃) = (4) + (1) > 3 (a₃₁) + (a₃₂) = (3) + (3) = 6 ou seja, as condições (b) e (c) não são satisfeitas. II. Falsa. Como a matriz dos coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante, o critério das linhas também não será satisfeito. De fato, dividindo cada equação pelo correspondente elemento (aᵢᵢ) da diagonal principal, obtemos: {1x₁ + 0 . 2x₂ + 0 . 2x₃ = 10 . 75x₁ + 1x₂ + 0 . 25x₃ = 1 . 50 . 5x₁ + 0 . 5x₂ + 1x₃ = 0 (a₁₂^()) + (a₁₃^()) = (0 . 2) + (0 . 2) = 0 . 4 (a₂₁^()) + (a₂₃^()) = (0 . 75) + (0 . 25) = 1(a₃₁^()) + (a₃₂^(*)) = (0 . 5) + (0 . 5) = 1 ∑ i = 1j ≠ ia_(ij) = 1 III. Verdadeira. Aplicando o critério de Sassenfeld, temos: β₁ = (0 . 2) + (0 . 2) = 0 . 4, β₂ = (0 . 75)(0 . 4) + (0 . 25) = 0 . 3 + 0 . 25 = 0 . 55 β₃ = (0 . 5)(0 . 4) + (0 . 5)(0 . 55) = 0 . 2 + 0 . 275 = 0 . 475 βᵢ = 0 . 55