Dada a tabela: x 2 3 4 5 6 7 f(x) 0.13 0.19 0.27 0.38 0.51 0.67 Qual é o grau do polinômio de interpolação adequado para os dados fornecidos? E o valor da função f(4 . 5)?

As diferenças divididas de ordem 1 são dadas por: f(x₀,x₁) = (f(x₁) - f(x₀))/(x₁ - x₀) = (0 . 19 - 0 . 13)/(3 - 2) = 0 . 06f(x₁,x₂) = (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) = (0 . 27 - 0 . 19)/(4 - 3) = 0 . 08f(x₂,x₃) = (f(x₃) - f(x₂))/(x₃ - x₂) = (0 . 38 - 0 . 27)/(5 - 4) = 0 . 11f(x₃,x₄) = (f(x₄) - f(x₃))/(x₄ - x₃) = (0 . 51 - 0 . 38)/(6 - 5) = 0 . 13f(x₄,x₅) = (f(x₅) - f(x₄))/(x₅ - x₄) = (0 . 67 - 0 . 51)/(7 - 6) = 0 . 16 e as diferenças divididas de ordem 2 por: f(x₀,x₁,x₂) = (f(x₁,x₂) - f(x₀,x₁))/(x₂ - x₀) = (0 . 08 - 0 . 06)/(4 - 2) = 0 . 01f(x₁,x₂,x₃) = (f(x₂,x₃) - f(x₁,x₂))/(x₃ - x₁) = (0 . 11 - 0 . 08)/(5 - 3) = 0 . 015f(x₂,x₃,x₄) = (f(x₃,x₄) - f(x₂,x₃))/(x₄ - x₂) = (0 . 13 - 0 . 11)/(6 - 4) = 0 . 01f(x₃,x₄,x₅) = (f(x₄,x₅) - f(x₃,x₄))/(x₅ - x₃) = (0 . 16 - 0 . 13)/(7 - 5) = 0 . 015 Como as diferenças divididas de ordem 2 são praticamente constantes, podemos adotar um polinômio interpolador de grau 2. A forma do polinômio interpolador de Newton é dada por: p(x) = f(x₀) + f(x₀,x₁)(x - x₀) + f(x₀,x₁,x₂)(x - x₀)(x - x₁) Como queremos calcular f(4 . 5), devemos escolher três pontos próximo de 4.5, ou seja, x₀ = 4 ; x₁ = 5ex₂ = 6 . Substituindo os valores conhecidos, chega-se no seguinte polinômio de Newton: p(x) = 0 . 27 + 0 . 11(x - 4) + 0 . 01(x - 4)(x - 5) ou seja, p(x) = 0 . 03 + 0 . 02x + 0 . 01x² Assim, f(4 . 5) ≅ p(4 . 5) = 0 . 03 + 0 . 02(4 . 5) + 0 . 01(4 . 5)² = 0 . 3225 .