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Considere um conjunto parcialmente ordenado (S, ≼) onde S é um conjunto finito de elementos. As propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade são essenciais para definir a estrutura de uma ordem parcial. Dada essa estrutura, podemos analisar as relações entre os elementos do conjunto e as implicações dessas propriedades.
Com base nisso, analise as seguintes afirmativas:
I. Se um elemento x é minimal em S, não existe nenhum elemento y em S tal que y ≺ x.
II. Se uma relação em S é reflexiva e simétrica, então ela é necessariamente transitiva.
III. Em um conjunto parcialmente ordenado, o elemento mínimo é sempre único, se existir.
IV. Se uma relação em S é antissimétrica, então não pode haver dois elementos distintos x e y em S tais que x ≼ y e y ≼ x.
Está correto o que se afirma em:
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🎓 Gabarito Comentado (AVA):
A afirmativa I "Se um elemento x é minimal em S, não existe nenhum elemento y em S tal que y ≺ x" é correta, pois a definição de um elemento minimal em um conjunto parcialmente ordenado implica que não existe outro elemento no conjunto que seja estritamente menor do que o elemento minimal.
A afirmativa II "Se uma relação em S é reflexiva e simétrica, então ela é necessariamente transitiva" é incorreta, pois a transitividade é uma propriedade independente da reflexividade e simetria. Uma relação pode ser reflexiva e simétrica sem ser transitiva.
A afirmativa III "Em um conjunto parcialmente ordenado, o elemento mínimo é sempre único, se existir" é correta, pois em uma ordem parcial, se um elemento mínimo existe, ele é único devido à propriedade de antissimetria.
A afirmativa IV "Se uma relação em S é antissimétrica, então não pode haver dois elementos distintos x e y em S tais que x ≼ y e y ≼ x" é correta, pois a propriedade de antissimetria implica que se dois elementos distintos estão relacionados em ambos os sentidos, então eles devem ser iguais, o que é uma contradição.