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O método de eliminação de Gauss, também conhecido como eliminação gaussiana, é uma técnica fundamental para resolver sistemas de equações lineares. Ele transforma o sistema em uma forma escalonada ou em forma escalonada reduzida por meio de operações elementares nas linhas da matriz de coeficientes, facilitando a obtenção das soluções do sistema. Este método não apenas simplifica a resolução de sistemas complexos de equações lineares, mas também fornece insights valiosos sobre a estrutura do sistema, incluindo a determinação da existência e unicidade de soluções.
Considere o seguinte sistema de equações lineares representado em forma matricial:
x + 2y – z = 8
-3x – y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3
Usando o eliminação de Gauss, resolva o sistema e determine o valor da soma x+y+z:
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🎓 Gabarito Comentado (AVA):
Para resolver o sistema usando o método de eliminação de Gauss, começamos transformando o sistema em uma matriz aumentada e aplicando operações elementares para alcançar uma forma escalonada reduzida.
A matriz aumentada do sistema é:
1
2
− 1
∣
8
− 3
− 1
2
∣
− 11
− 2
1
2
∣
3
Primeiro, eliminamos x das segunda e terceira linhas. Multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos à segunda. Multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à terceira. As linhas modificadas ficam:
1
2
− 1
∣
8
0
5
− 1
∣
13
0
5
0
∣
13
Subtraímos a segunda linha da terceira para eliminar y da terceira linha, resultando em:
1
2
− 1
∣
8
0
5
− 1
∣
13
0
0
1
∣
0
14 5 .
5.4
Este processo ilustra como o método de eliminação de Gauss simplifica a resolução de sistemas de equações lineares, transformando o sistema em um conjunto de etapas gerenciáveis para a solução direta.