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Em um sorteio beneficente, serão sorteados ao acaso 5 números distintos entre os números naturais de 1 a 40. O participante vencedor será aquele cujo bilhete contenha todos os números sorteados. Cada bilhete pode conter de 5 a 9 números escolhidos pelo participante, de modo que, quanto maior a quantidade de números presentes no bilhete, maior é o valor pago por ele. Uma pessoa avaliou as cinco seguintes estratégias de compra: Estratégia I: adquirir 30 bilhetes, cada um com 5 números; Estratégia II: adquirir 20 bilhetes, cada um com 6 números; Estratégia III: adquirir 5 bilhetes, cada um com 7 números; Estratégia IV: adquirir 3 bilhetes, cada um com 8 números; Estratégia V: adquirir 1 bilhete com 9 números. A pessoa irá escolher, entre essas estratégias, aquela que resulta na maior probabilidade de vencer o sorteio. Considere que o participante que tenha comprado mais de um bilhete só vence o sorteio se tiver ao menos um com todos os 5 números sorteados. Desse modo, qual deve ser a estratégia escolhida por essa pessoa?
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Alternativa D - Estratégia IV
Este é um problema de combinatória envolvendo cálculo de combinações para determinar qual estratégia oferece maior cobertura de números possíveis.
Para vencer, o participante precisa ter todos os 5 números sorteados em pelo menos um bilhete. A probabilidade depende de quantas combinações diferentes de 5 números cada estratégia consegue cobrir.
A fórmula de combinação é:
$$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Onde $C(n,k)$ representa o número de maneiras de escolher $k$ elementos entre $n$.
| Estratégia | Bilhetes | Números/Bilhete | Combinações por Bilhete $C(n,5)$ | Total Combinado | | --- | --- | --- | --- | --- | | I | 30 | 5 | $C(5,5)=1$ | 30 | | II | 20 | 6 | $C(6,5)=6$ | 120 | | III | 5 | 7 | $C(7,5)=21$ | 105 | | IV | 3 | 8 | $C(8,5)=56$ | 168 | | V | 1 | 9 | $C(9,5)=126$ | 126 |
Estratégia I: Cada bilhete com 5 números cobre exatamente 1 combinação possível. Com 30 bilhetes: $30 \times 1 = 30$ combinações.
Estratégia II: Cada bilhete com 6 números pode formar $C(6,5)=6$ combinações diferentes de 5 números. Com 20 bilhetes: $20 \times 6 = 120$ combinações.
Estratégia III: Cada bilhete com 7 números pode formar $C(7,5)=21$ combinações. Com 5 bilhetes: $5 \times 21 = 105$ combinações.
Estratégia IV: Cada bilhete com 8 números pode formar $C(8,5)=56$ combinações. Com 3 bilhetes: $3 \times 56 = 168$ combinações.
Estratégia V: O bilhete com 9 números pode formar $C(9,5)=126$ combinações. Com 1 bilhete: $1 \times 126 = 126$ combinações.
| Estratégia | Combinações Cobertas | Posição | | --- | --- | --- | | I | 30 | 5º lugar | | II | 120 | 4º lugar | | III | 105 | 3º lugar | | IV | 168 | 1º lugar | | V | 126 | 2º lugar |
A Estratégia IV oferece 168 combinações distintas, superando todas as outras opções. Isso significa que ela cobre aproximadamente 0,0255% de todas as combinações possíveis ($168/658.008$), sendo estatisticamente a melhor escolha.
Alternativa D é correta porque a Estratégia IV maximiza o número total de combinações de 5 números possíveis dentro dos limites de cada estratégia, oferecendo a maior probabilidade matemática de vitória.