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A construção de modelos preditivos permite que pesquisadores descrevam tendências em dados experimentais por meio de equações ajustadas. Ao considerar relações que não seguem padrões lineares simples, a inclusão de termos polinomiais oferece maior flexibilidade na representação da variabilidade observada nos fenômenos estudados.
Um pesquisador ajustou um modelo polinomial de segundo grau com N = 12 observações, e a soma dos quadrados dos resíduos obtida foi SQE = 96 .
Considerando os parâmetros envolvidos neste modelo, determina-se o valor da variância residual estimada σ̂² por meio da fórmula apropriada.
Diante disso, assinale a alternativa que contém a expressão da variância residual estimada:
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Alternativa (B) - σ̂² = 96 / 9
A questão aborda o cálculo da variância residual estimada (σ̂²) em um contexto de modelagem preditiva, especificamente para um modelo polinomial de segundo grau. Este é um conceito fundamental em inferência estatística, particularmente em análise de regressão, pois a variância residual quantifica a variabilidade não explicada pelo modelo, sendo crucial para avaliar a precisão das estimativas dos parâmetros e dos intervalos de confiança.
Em modelos de regressão, a variância residual estimada, denotada por σ̂², é uma medida da dispersão dos pontos de dados em torno da linha (ou curva) de regressão ajustada. Ela é calculada como a razão entre a Soma dos Quadrados dos Erros (SQE, também conhecida como Soma dos Quadrados dos Resíduos) e os seus graus de liberdade (df).
A fórmula geral para a variância residual estimada é: σ̂² = SQE / df_erro
Onde:
Para um modelo polinomial de grau 'd', com uma única variável preditora, a equação é geralmente expressa como: y = β₀ + β₁x + β₂x² + ... + βdxd + ε
Neste tipo de modelo, o número de parâmetros (p) a serem estimados inclui o intercepto (β₀) e os coeficientes de cada termo polinomial (β₁, β₂, ..., βd). Portanto, para um modelo polinomial de grau 'd', o número total de parâmetros é d + 1.
No problema fornecido:
Para determinar a alternativa correta, precisamos calcular os graus de liberdade do erro (df_erro) e, em seguida, aplicar a fórmula da variância residual estimada.
Determinar o número de parâmetros (p) para o modelo polinomial: Um modelo polinomial de segundo grau possui a seguinte forma: y = β₀ + β₁x + β₂x² + ε. Os parâmetros a serem estimados são β₀ (intercepto), β₁ (coeficiente do termo linear) e β₂ (coeficiente do termo quadrático). Portanto, o número total de parâmetros é p = 3. (Note que p = d + 1 = 2 + 1 = 3).
Calcular os graus de liberdade do erro (df_erro): df_erro = N - p df_erro = 12 - 3 df_erro = 9
Calcular a variância residual estimada (σ̂²): σ̂² = SQE / df_erro σ̂² = 96 / 9
Comparando com as alternativas:
| Alternativa | Expressão | df Utilizado | Correto? | Justificativa | | :---------- | :-------- | :----------- | :------- | :------------ | | (A) | 96 / 8 | 8 | Incorreto | Subestimou os graus de liberdade (12 - 4) | | (B) | 96 / 9| 9 | Correto | df = N - p = 12 - 3 = 9 | | (C) | 96 / 12 | 12 | Incorreto | Usou N como graus de liberdade, não descontou os parâmetros do modelo. | | (D) | 96 / 10 | 10 | Incorreto | Subestimou os graus de liberdade (12 - 2). Pode ter ignorado o intercepto ou considerado apenas 1 termo polinomial. | | (E) | 96 / 11 | 11 | Incorreto | Subestimou os graus de liberdade (12 - 1). |
A alternativa (B) corresponde ao cálculo correto da variância residual estimada, utilizando os graus de liberdade apropriados para um modelo polinomial de segundo grau.
A variância residual estimada (σ̂²) é um estimador não viesado da variância do erro populacional. Para calculá-la corretamente em um modelo de regressão, é essencial determinar os graus de liberdade do erro de forma precisa, que é o número de observações menos o número de parâmetros estimados no modelo. Neste caso, para um modelo polinomial de segundo grau com 12 observações, há 3 parâmetros a serem estimados (intercepto e dois coeficientes para os termos de x e x²), resultando em 9 graus de liberdade. Assim, a variância residual estimada é 96 dividido por 9.
Alternativa (B).