Ao realizar a análise de um modelo de regressão múltipla, um pesquisador deseja verificar se o conju...

Alternativa (E) - F = 12, rejeita a hipótese nula.

Introdução

A análise de regressão múltipla é uma técnica estatística fundamental para modelar a relação entre uma variável dependente e duas ou mais variáveis independentes. Uma etapa crucial na avaliação de um modelo de regressão é verificar sua significância global, ou seja, se o conjunto de variáveis independentes, em conjunto, possui poder explicativo sobre a variação da variável dependente. Para isso, utiliza-se o teste F, que compara a variância explicada pelo modelo com a variância residual não explicada, baseando-se no coeficiente de determinação (R²).

Desenvolvimento

O teste F para a significância global de um modelo de regressão múltipla testa a hipótese nula de que todos os coeficientes de inclinação (βᵢ) são iguais a zero (H₀: β₁ = β₂ = ... = βₖ = 0), contra a hipótese alternativa de que pelo menos um coeficiente de inclinação é diferente de zero (H₁: Pelo menos um βᵢ ≠ 0). Se a hipótese nula for verdadeira, o modelo de regressão não tem poder preditivo e as variáveis independentes não contribuem significativamente para explicar a variação da variável dependente.

A estatística F é calculada a partir do coeficiente de determinação (R²), que representa a proporção da variância total da variável dependente que é explicada pelo modelo. A fórmula da estatística F é dada por:

F = [R² / k] / [(1 - R²) / (n - k - 1)]

Onde:

• R²: Coeficiente de determinação.
• k: Número de variáveis independentes (preditores). Corresponde aos graus de liberdade do numerador da distribuição F.
• n: Número de observações.
• (n - k - 1): Graus de liberdade do denominador da distribuição F. O "-1" se refere ao intercepto do modelo.

Para tomar uma decisão sobre a hipótese nula, o valor da estatística F calculada é comparado com um valor crítico de F, obtido de tabelas da distribuição F, para um determinado nível de significância (α) e os graus de liberdade apropriados (k e n - k - 1).

Análise

Vamos aplicar a fórmula com os dados fornecidos:

• n (número de observações) = 18
• k (número de preditores) = 3
• R² (coeficiente de determinação) = 0,72
• α (nível de significância) = 0,05
• F_crítico (valor crítico de F) ≈ 5,42 (para gl = (k, n-k-1) = (3, 18-3-1) = (3, 14))

1. Cálculo da estatística F:

   • Numerador: R² / k = 0,72 / 3 = 0,24
   • Denominador: (1 - R²) / (n - k - 1) = (1 - 0,72) / (18 - 3 - 1) = 0,28 / 14 = 0,02
   • F = 0,24 / 0,02 = 12

2. Comparação e Decisão:

   • Estatística F calculada = 12
   • Valor crítico F = 5,42
   • Como F_calculado (12) > F_crítico (5,42), a hipótese nula (H₀) deve ser rejeitada. Isso significa que, ao nível de significância de 5%, pelo menos uma das variáveis independentes contribui significativamente para explicar a variação da variável dependente.

3. Análise das Alternativas: Vamos comparar nossos resultados com as alternativas fornecidas:

| Alternativa | Valor F Calculado | Conclusão | Nossos Resultados | | :---------- | :---------------- | :----------------- | :---------------- | | (A) | 1,2 | rejeita H₀ | F = 12, rejeita H₀ | | (B) | 12 | não rejeita H₀ | F = 12, rejeita H₀ | | (C) | 1,2 | não rejeita H₀ | F = 12, rejeita H₀ | | (D) | 12 | rejeita H₀ | F = 12, rejeita H₀ | | (E) | 12 | rejeita H₀ | F = 12, rejeita H₀ |

Conforme nosso cálculo, a estatística F é 12 e a conclusão é que a hipótese nula deve ser rejeitada. Tanto a alternativa (D) quanto a (E) apresentam esse resultado. Assumindo que a alternativa (E) é a correta, ela está alinhada com os cálculos realizados.

Conclusão

A estatística F calculada para o modelo de regressão múltipla é 12. Como este valor (12) é maior do que o valor crítico de F (5,42) para um nível de significância de 0,05 e os graus de liberdade correspondentes, a hipótese nula de que todas as variáveis independentes não têm poder explicativo deve ser rejeitada. Isso indica que o modelo de regressão é estatisticamente significativo e que o conjunto de variáveis independentes explica, de fato, uma proporção significativa da variação observada na variável dependente.

Alternativa (E).