Considere o exemplo de adequação onde a taxa de liberação na área do queimador  e as emissões de   f...

Alternativa E - os valores observados subtraídos pelos valores previstos pelo modelo, divididos pelo desvio padrão dos resíduos.

Introdução

A adequação de um modelo estatístico, como uma reta de regressão, é crucial para garantir que as conclusões derivadas do modelo sejam válidas e confiáveis. Uma ferramenta fundamental para avaliar essa adequação é a análise dos resíduos. Resíduos são a diferença entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo. Para uma análise mais aprofundada e para identificar padrões ou pontos atípicos que poderiam ser mascarados pela escala dos dados, utiliza-se o conceito de resíduos padronizados.

Desenvolvimento

No contexto da regressão linear, um modelo é ajustado para descrever a relação entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes (X). A reta de regressão estimada, por exemplo, é dada por Ŷ = β₀ + β₁X, onde Ŷ são os valores previstos.

1. Resíduo Bruto (ou Simples): O resíduo para cada observação (eᵢ) é a diferença entre o valor observado de Y (Yᵢ) e o valor previsto de Y (Ŷᵢ) pelo modelo. eᵢ = Yᵢ - Ŷᵢ

   A análise dos resíduos brutos ajuda a verificar pressupostos do modelo, como linearidade, homocedasticidade (variância constante dos erros) e normalidade dos erros. No entanto, a magnitude dos resíduos brutos pode ser influenciada pela escala da variável dependente, tornando a comparação entre diferentes modelos ou conjuntos de dados mais difícil.

2. Resíduo Padronizado: Para superar a limitação da escala dos resíduos brutos, os resíduos são padronizados. A padronização envolve transformar os resíduos de forma que eles tenham uma escala comum, o que geralmente significa ter uma média de zero e um desvio padrão de um. Um resíduo padronizado (eᵢ*) é calculado dividindo o resíduo bruto pelo desvio padrão dos resíduos (s_e), que é uma estimativa do desvio padrão dos erros do modelo. eᵢ* = eᵢ / s_e ou seja, eᵢ* = (Yᵢ - Ŷᵢ) / s_e

   Essa transformação permite que os resíduos sejam interpretados em termos de "quantos desvios padrão eles estão da média (zero)". Resíduos padronizados são especialmente úteis para detectar outliers (observações com resíduos excepcionalmente grandes) ou para verificar o pressuposto de normalidade dos erros, pois se o modelo for adequado e os erros forem normalmente distribuídos, a maioria dos resíduos padronizados deve cair entre -2 e +2 (ou -3 e +3, dependendo do critério).

Análise

Vamos analisar cada alternativa com base na definição de resíduo padronizado:

| Alternativa | Análise da Definição | Conclusão | | :---------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :-------------------- | | (A) | "os valores observados subtraídos pelos valores previstos pelo modelo" (Yᵢ - Ŷᵢ) - Correto para o resíduo bruto. <br/> "ajustados pela variância dos resíduos" - Incorreto. A padronização envolve dividir pelo desvio padrão, não "ajustar pela variância". | Incorreta | | (B) | "os valores previstos pelo modelo subtraídos pelos valores observados" (Ŷᵢ - Yᵢ) - Incorreto. É o negativo do resíduo bruto. <br/> "divididos pelo desvio padrão dos resíduos" - Correto para a etapa de divisão. | Incorreta | | (C) | "os valores previstos pelo modelo subtraídos pelos valores observados" (Ŷᵢ - Yᵢ) - Incorreto. É o negativo do resíduo bruto. <br/> "ajustados pela variância dos resíduos" - Incorreto. Ver (A). | Incorreta | | (D) | "os valores observados subtraídos pelos valores previstos pelo modelo" (Yᵢ - Ŷᵢ) - Correto para o resíduo bruto. <br/> "divididos pela média dos valores observados" - Incorreto. A padronização requer divisão pelo desvio padrão dos resíduos, não pela média dos valores observados. | Incorreta | | (E) | "os valores observados subtraídos pelos valores previstos pelo modelo" (Yᵢ - Ŷᵢ) - Correto, é a definição do resíduo bruto. <br/> "divididos pelo desvio padrão dos resíduos" - Correto, é a operação de padronização. | Correta |

A alternativa (E) descreve precisamente o cálculo do resíduo padronizado, que é a diferença entre o valor observado e o valor previsto pelo modelo (o resíduo bruto), dividida pelo desvio padrão dos resíduos.

Conclusão

Os resíduos padronizados são uma ferramenta essencial na análise de adequação de modelos estatísticos, fornecendo uma medida da "anormalidade" de cada resíduo em uma escala comum. Eles são calculados subtraindo os valores previstos pelo modelo dos valores observados e, em seguida, dividindo o resultado pelo desvio padrão dos resíduos. Essa padronização permite identificar facilmente observações que desviam significativamente do padrão geral, auxiliando na detecção de outliers, verificação de pressupostos e melhor compreensão do ajuste do modelo aos dados.

Alternativa E.