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Durante uma análise estatística de dados educacionais, uma equipe de pesquisadores observou diferenças expressivas entre os valores medidos e os previstos por um modelo linear simples. Para investigar a adequação do modelo adotado, foi necessário transformar os resíduos em valores comparáveis, independentemente da escala original. Esse processo é fundamental para identificar padrões, anomalias e validar a distribuição dos erros.
Em um experimento estatístico, foram obtidos os seguintes resíduos para cinco observações:
e₁ = 1, e₂ = - 2, e₃ = 4, e₄ = - 3, e₅ = 3 .
Sabendo-se que o desvio padrão dos resíduos é s = 2 .
Conforme a situação apresentada acima, assinale a alternativa que contém o valor do resíduo padronizado da terceira observação.
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Alternativa D - z₃ = 2,00
A análise de resíduos é uma etapa fundamental na avaliação da qualidade e adequação de modelos estatísticos, como a regressão linear. Os resíduos, que são as diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo, fornecem informações cruciais sobre a variabilidade não explicada e sobre possíveis violações das suposições do modelo. Para facilitar a interpretação, comparação e identificação de padrões ou anomalias, especialmente em dados com diferentes escalas, é comum transformar os resíduos brutos em resíduos padronizados. Este processo permite analisar a magnitude de cada erro em relação à variabilidade geral dos erros, tornando-os comparáveis.
Em um modelo de regressão, o resíduo (eᵢ) para uma dada observação i é a diferença entre o valor real observado (yᵢ) e o valor predito pelo modelo (ŷᵢ): eᵢ = yᵢ - ŷᵢ
Os resíduos brutos podem ter magnitudes variadas dependendo da escala da variável dependente. Para que esses resíduos possam ser interpretados de forma consistente, independentemente da escala original, eles são padronizados. O resíduo padronizado (frequentemente denotado como zᵢ) é calculado dividindo-se o resíduo bruto pelo desvio padrão dos resíduos (s). Essa padronização é análoga ao cálculo de um escore Z, indicando quantos desvios padrão um resíduo específico está distante da média dos resíduos (que idealmente é zero).
A fórmula para o cálculo do resíduo padronizado para a i-ésima observação é: zᵢ = eᵢ / s
Onde:
De acordo com o enunciado da questão, temos os seguintes dados para a terceira observação:
Para determinar o valor do resíduo padronizado da terceira observação (z₃), aplicamos a fórmula do resíduo padronizado com os valores fornecidos:
z₃ = e₃ / s z₃ = 4 / 2 z₃ = 2
Agora, vamos analisar as alternativas apresentadas à luz deste cálculo:
| Alternativa | Valor Proposto | Justificativa | | :---------- | :------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | (A) | z₃ = 1,00 | Incorreta. O cálculo correto, utilizando a fórmula z₃ = e₃ / s, resulta em 2,00. | | (B) | z₃ = 2,50 | Incorreta. O cálculo correto é 2,00. Um valor de 2,50 seria obtido, por exemplo, se o resíduo fosse 5 e o desvio padrão fosse 2, o que não é o caso aqui. | | (C) | z₃ = 3,00 | Incorreta. O cálculo correto é 2,00. Um valor de 3,00 seria obtido se o resíduo fosse 6 e o desvio padrão fosse 2, o que não corresponde aos dados da questão. | | (D) | z₃ = 2,00 | Correta. Este valor corresponde exatamente ao resultado obtido pela aplicação da fórmula: z₃ = 4 / 2 = 2. Um resíduo padronizado de 2,00 indica que o resíduo bruto da terceira observação está a dois desvios padrão da média dos resíduos. | | (E) | z₃ = 1,50 | Incorreta. O cálculo correto é 2,00. Um valor de 1,50 seria obtido se o resíduo fosse 3 e o desvio padrão fosse 2, o que não corresponde à terceira observação. |
Portanto, o valor do resíduo padronizado da terceira observação é 2,00.
A padronização dos resíduos é uma técnica estatística valiosa para diagnosticar a adequação de um modelo e identificar observações potencialmente problemáticas. Ao transformar os resíduos brutos em unidades de desvio padrão, torna-se mais fácil detectar outliers ou verificar a validade das suposições do modelo, como a normalidade dos erros e a homocedasticidade. No problema em questão, aplicando a fórmula do resíduo padronizado (zᵢ = eᵢ / s) para a terceira observação (e₃ = 4 e s = 2), obtivemos z₃ = 2,00, o que corresponde à alternativa (D).
Alternativa D.