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Em um estudo estatístico para prever o desempenho de produtos no mercado, um analista coletou dados de múltiplas variáveis que poderiam influenciar as vendas. Para ajustar o modelo de regressão linear múltipla, ele precisa calcular corretamente a variância dos erros do modelo, respeitando os princípios da teoria estatística para modelos com múltiplos preditores. Considerando que um analista ajustou um modelo de regressão múltipla de primeira ordem com preditores e trabalhou com observações, sendo que a soma dos quadrados dos resíduos (SQE) encontrada foi de .
Com base nisso, assinale a alternativa que contém a variância estimada para o modelo descrito.
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Alternativa A - 12
A questão aborda um conceito fundamental em modelos de regressão linear múltipla: a estimação da variância dos erros. A variância dos erros, também conhecida como variância residual ou MSE (Mean Squared Error), é uma medida da dispersão dos pontos observados em torno da linha de regressão ajustada. Sua correta estimação é crucial para avaliar a precisão do modelo, construir intervalos de confiança para os parâmetros e realizar testes de hipóteses sobre os coeficientes de regressão.
Em um modelo de regressão linear múltipla, o objetivo é modelar a relação entre uma variável dependente (resposta) e duas ou mais variáveis independentes (preditoras). O modelo pode ser representado como: Yᵢ = β₀ + β₁X₁ᵢ + β₂X₂ᵢ + ... + βₖXₖᵢ + εᵢ
onde:
A estimação da variância dos erros (σ²) é feita a partir da Soma dos Quadrados dos Erros (SQE), também conhecida como Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR). Os resíduos (eᵢ) são as diferenças entre os valores observados de Yᵢ e os valores previstos pelo modelo (Ŷᵢ): eᵢ = Yᵢ - Ŷᵢ. A SQE é calculada como a soma dos quadrados desses resíduos: SQE = Σ(eᵢ)² = Σ(Yᵢ - Ŷᵢ)²
Para obter uma estimativa não viesada da variância dos erros (denotada por s² ou MSE), a SQE é dividida pelos seus graus de liberdade. Em um modelo de regressão linear múltipla com k preditores e um intercepto, um total de (k + 1) parâmetros são estimados. Portanto, os graus de liberdade para o erro são calculados como: Graus de Liberdade do Erro (GL_erro) = n - (k + 1) = n - k - 1
Onde n é o número total de observações. A fórmula para a variância estimada dos erros é, portanto: s² = MSE = SQE / (n - k - 1)
No problema proposto, temos os seguintes dados:
Vamos calcular a variância estimada para o modelo:
Calcular os graus de liberdade do erro (GL_erro): GL_erro = n - k - 1 GL_erro = 30 - 5 - 1 GL_erro = 24
Calcular a variância estimada (s²): s² = SQE / GL_erro s² = 288 / 24
Realizar a divisão: 288 ÷ 24 = 12
Portanto, a variância estimada para o modelo é 12.
Vamos analisar as alternativas:
A variância estimada dos erros é uma medida essencial da qualidade do ajuste de um modelo de regressão linear. Ela representa a variabilidade não explicada pelo modelo. A sua correta determinação envolve dividir a Soma dos Quadrados dos Erros (SQE) pelos graus de liberdade apropriados, que para um modelo de regressão múltipla com k preditores e um intercepto são (n - k - 1). Aplicando os valores fornecidos na questão (SQE = 288, n = 30, k = 5), os graus de liberdade são 24, resultando em uma variância estimada de 12.
Alternativa A.