Em um experimento conduzido para modelar a relação entre temperatura ambiente e o desempenho de equi...

Alternativa A - EP = 3 × √(1 + 1 / 25 + ((35 - 30)²) / 400) ≈ 4,263

Introdução

Esta questão aborda o conceito do erro padrão da predição em um modelo de regressão linear simples. Em análises de regressão, não basta apenas estimar os coeficientes do modelo; é crucial quantificar a incerteza associada às previsões. O erro padrão da predição (ou erro padrão de previsão) nos permite construir intervalos de confiança para novas observações, refletindo tanto a variabilidade inerente aos dados quanto a incerteza na estimação dos parâmetros do modelo.

Desenvolvimento

Em um modelo de regressão linear simples, a equação ajustada é dada por Ŷ = β₀ + β₁X. Quando desejamos prever um novo valor de resposta Y para um determinado valor X₀, denotamos essa previsão como Ŷ₀. O erro associado a essa predição de um único novo valor de resposta Y₀ (e não da média da resposta) é maior do que o erro padrão da estimativa da média da resposta em X₀, pois incorpora a variabilidade intrínseca de uma nova observação além da incerteza na estimação da linha de regressão.

A fórmula para o erro padrão da predição (EP) para uma única nova observação Y para um dado X₀ é:

EP = s × √(1 + 1/n + (X₀ - x̄)² / ∑(xᵢ - x̄)²)

Onde:

• s é o erro padrão da regressão (ou desvio padrão dos resíduos), que mede a dispersão dos pontos observados em torno da linha de regressão.
• n é o número de observações na amostra utilizada para ajustar o modelo.
• X₀ é o novo valor da variável preditora (independente) para o qual se deseja fazer a predição.
• x̄ é a média dos valores da variável preditora na amostra.
• ∑(xᵢ - x̄)² é a soma dos quadrados dos desvios dos valores da variável preditora em relação à sua média.

Analisando os termos dentro da raiz quadrada, temos:

• 1: Representa a variabilidade intrínseca da nova observação Y₀ em torno da média verdadeira de Y para X₀.
• 1/n: Representa a incerteza na estimativa do intercepto e na estimativa da média da resposta.
• (X₀ - x̄)² / ∑(xᵢ - x̄)²: Representa a incerteza adicional na predição devido à extrapolação ou interpolação do valor X₀ em relação à média x̄. Quanto mais X₀ estiver distante de x̄, maior será esse termo, e, consequentemente, maior será o erro padrão da predição.

A questão fornece os seguintes dados:

• Número de observações (n) = 25
• Média dos valores de temperatura (x̄) = 30
• Soma dos quadrados dos desvios (∑(xᵢ - x̄)²) = 400
• Erro padrão da regressão (s) = 3
• Novo valor para predição (X₀) = 35

Substituindo esses valores na fórmula: EP = 3 × √(1 + 1/25 + (35 - 30)² / 400) EP = 3 × √(1 + 0,04 + (5)² / 400) EP = 3 × √(1 + 0,04 + 25 / 400) EP = 3 × √(1 + 0,04 + 0,0625) EP = 3 × √(1,1025) EP = 3 × 1,05 EP = 3,15

Análise

Vamos analisar cada alternativa com base na fórmula correta e nos cálculos.

| Alternativa | Fórmula Apresentada | Cálculo com dados fornecidos | Comentário | | :---------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | (A) | EP = 3 × √(1 + 1 / 25 + ((35 - 30)²) / 400) | 3 × √(1 + 0,04 + 25 / 400) = 3 × √(1 + 0,04 + 0,0625) = 3 × √(1,1025) = 3 × 1,05 = 3,15 | A fórmula apresentada está correta para o erro padrão de predição de uma única observação. No entanto, o valor numérico aproximado 4,263 fornecido na alternativa (A) não corresponde ao cálculo realizado com a própria fórmula e os dados do enunciado (o cálculo correto é 3,15). Apesar da inconsistência numérica no valor final da alternativa, a estrutura da fórmula é a única correta entre as opções. | | (B) | EP = 3 × √(1 + 1 / 25) | 3 × √(1 + 0,04) = 3 × √(1,04) ≈ 3 × 1,0198 ≈ 3,059 | Esta fórmula está incorreta, pois omite o termo (X₀ - x̄)² / ∑(xᵢ - x̄)², que reflete a incerteza adicional quando X₀ se afasta da média x̄. Esta fórmula seria para o erro padrão da média da resposta (não para uma única observação) se não houvesse o +1 termo, ou para um cenário onde a incerteza da X₀ é nula. | | (C) | EP = 3 × √(1 + 25 / 400) | 3 × √(1 + 0,0625) = 3 × √(1,0625) ≈ 3 × 1,0308 ≈ 3,092 | Esta fórmula está incorreta. O termo 25 / 400 corresponde a (X₀ - x̄)² / ∑(xᵢ - x̄)², mas o termo 1/n (que é 1/25) está faltando. | | (D) | EP = 3 × √(1 + ((35 - 30)²) / 400) | 3 × √(1 + 25 / 400) = 3 × √(1 + 0,0625) = 3 × √(1,0625) ≈ 3,092 | Esta fórmula está incorreta, pois omite o termo 1/n (que é 1/25). | | (E) | EP = 3 × √(1 + 1 / 25 + 25 / 400) | 3 × √(1 + 0,04 + 0,0625) = 3 × √(1,1025) = 3 × 1,05 = 3,15 | Embora o cálculo final seja 3,15 (que é o valor correto para o erro padrão), a formulação 25 / 400 neste contexto não é tão clara quanto ((35 - 30)²) / 400, mesmo que numericamente dê o mesmo resultado para este caso específico. A alternativa (A) apresenta a estrutura da fórmula de forma mais didática e correta. |

Considerando a inconsistência numérica no valor da alternativa (A), mas a clareza e correção de sua estrutura de fórmula, e o fato de que ela é marcada como [CORRETA] no enunciado, a alternativa (A) é a melhor resposta para a pergunta em termos da representação da fórmula. O cálculo correto do erro padrão da predição, usando a fórmula fornecida na alternativa (A) e os dados do problema, é 3,15. A discrepância de 4,263 na alternativa (A) é um erro na questão.

Conclusão

O erro padrão da predição é uma medida crucial da incerteza ao prever um novo valor de resposta em um modelo de regressão linear. A fórmula correta para este cálculo incorpora o erro padrão da regressão, o número de observações e a distância do novo ponto de predição em relação à média dos valores observados da variável independente. A alternativa (A) apresenta a estrutura da fórmula correta: EP = s × √(1 + 1/n + (X₀ - x̄)² / ∑(xᵢ - x̄)²). Aplicando os valores fornecidos, o cálculo resulta em 3,15. Embora o valor numérico 4,263 apresentado na alternativa (A) seja inconsistente com a fórmula e os dados, a representação da fórmula em si é a única correta entre as opções.

Alternativa A.