Leia o trecho a seguir: Em uma análise estatística experimental, um pesquisador ajustou um modelo d...

Alternativa (C) - 1 – 144; 2 – 12

Introdução

A questão aborda o cálculo da estimativa da variância residual (σ̂²) em um modelo de regressão polinomial. A variância residual é uma medida crucial na análise de regressão, pois quantifica a variabilidade dos dados que não é explicada pelo modelo. Sua estimativa é fundamental para inferências estatísticas, como testes de hipóteses e construção de intervalos de confiança para os coeficientes do modelo e para as predições.

Desenvolvimento

Em modelos de regressão, a estimativa da variância residual, denotada por σ̂² (sigma chapéu ao quadrado), é calculada como a razão entre a Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQE, ou SSE - Sum of Squared Errors) e seus respectivos graus de liberdade. A fórmula geral é:

σ̂² = SQE / GL_residual

Onde:

• SQE (Soma dos Quadrados dos Resíduos): Representa a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de Y e os valores preditos pelo modelo (Ŷ). É a parte da variabilidade total da variável dependente que o modelo não conseguiu explicar.
• GL_residual (Graus de Liberdade Residuais): É o número de observações (N) menos o número de parâmetros (k) ajustados no modelo. Os graus de liberdade residuais representam a quantidade de informação disponível para estimar a variância que não foi usada para estimar os parâmetros do modelo.

Para um modelo de regressão polinomial de segundo grau, a equação geral é: Y = β₀ + β₁X + β₂X² + ε

Nesta equação, os parâmetros a serem estimados são:

1. β₀ (intercepto)
2. β₁ (coeficiente da variável X)
3. β₂ (coeficiente da variável X²)

Portanto, o número de parâmetros (k) neste modelo é 3.

Análise

Vamos aplicar os conceitos e dados fornecidos na questão:

1. Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQE): O enunciado informa que SQE = 144. Este valor corresponde diretamente ao termo "[preencher 1]".

   • Portanto, [preencher 1] = 144.

2. Número de Observações (N): O enunciado informa N = 15.

3. Número de Parâmetros (k): O modelo é uma regressão polinomial de segundo grau. Como explicado acima, um modelo de segundo grau (Y = β₀ + β₁X + β₂X² + ε) possui 3 parâmetros a serem estimados (β₀, β₁, β₂).

   • Portanto, k = 3.

4. Graus de Liberdade Residuais (GL_residual): Calculados como N - k.

   • GL_residual = 15 - 3 = 12.
   • Este valor corresponde ao termo "[preencher 2]".
   • Portanto, [preencher 2] = 12.

Substituindo esses valores na equação fornecida: σ̂² = ([preencher 1]) / ([preencher 2]) σ̂² = 144 / 12

Agora, comparando com as alternativas:

| Alternativa | [preencher 1] | [preencher 2] | Análise | | :---------- | :------------ | :------------ | :------ | | (A) | 120 | 15 | Incorreta. Valores não correspondem ao SQE nem aos GL residuais. | | (B) | 132 | 13 | Incorreta. Valores não correspondem ao SQE nem aos GL residuais. | | (C) | 144 | 12 | Correta. [preencher 1] é o SQE dado, e [preencher 2] é N - k (15 - 3 = 12). | | (D) | 144 | 15 | Incorreta. Embora [preencher 1] esteja correto (SQE), [preencher 2] está incorreto. Usar N (15) em vez de N - k (12) é um erro comum de cálculo dos graus de liberdade residuais. | | (E) | 132 | 11 | Incorreta. Valores não correspondem ao SQE nem aos GL residuais. |

Conclusão

A estimativa da variância residual (σ̂²) é um estimador não viciado da verdadeira variância do erro, crucial para a avaliação da qualidade do ajuste de um modelo de regressão. Para calculá-la, é essencial identificar corretamente a Soma dos Quadrados dos Resíduos (numerador) e, principalmente, o número de graus de liberdade residuais (denominador), que é obtido subtraindo o número de parâmetros ajustados do número total de observações. No caso de um modelo polinomial de segundo grau com 15 observações, o SQE é 144 e os graus de liberdade residuais são 12 (15 observações - 3 parâmetros).

Alternativa (C).