No contexto de modelos de regressão múltipla, a necessidade de ajustar relações não lineares exige a...

Alternativa E - 1 -ln(Y); 2 -ln(α)

Introdução

A modelagem de regressão é uma ferramenta estatística poderosa para entender a relação entre variáveis. Contudo, nem todas as relações são intrinsecamente lineares. Modelos de regressão múltipla do tipo potência, onde as variáveis preditoras estão elevadas a expoentes, apresentam uma forma não linear. Para que esses modelos possam ser ajustados utilizando as técnicas da regressão linear, é comum aplicar transformações matemáticas, sendo a transformação logarítmica a mais utilizada para converter relações multiplicativas e de potência em formas aditivas e lineares.

Desenvolvimento

Modelos de regressão do tipo potência são caracterizados por terem a variável dependente (Y) como um produto de uma constante (α) e das variáveis independentes (Xᵢ) elevadas a seus respectivos coeficientes (βᵢ). A forma geral apresentada na questão é:

Y = α ⋅ X₁^β₁ ⋅ X₂^β₂ ⋅ X₃^β₃

Para linearizar essa equação, aplica-se o logaritmo natural (ln) a ambos os lados da equação. As propriedades dos logaritmos são fundamentais nesse processo:

1. Logaritmo de um produto: ln(a ⋅ b) = ln(a) + ln(b)
2. Logaritmo de uma potência: ln(x^p) = p ⋅ ln(x)

Ao aplicar o logaritmo natural ao lado esquerdo da equação, obtemos ln(Y). Ao aplicar o logaritmo natural ao lado direito, utilizando a propriedade do produto: ln(α ⋅ X₁^β₁ ⋅ X₂^β₂ ⋅ X₃^β₃) = ln(α) + ln(X₁^β₁) + ln(X₂^β₂) + ln(X₃^β₃)

Em seguida, aplicando a propriedade da potência a cada termo logarítmico das variáveis X: ln(X₁^β₁) = β₁ ⋅ ln(X₁) ln(X₂^β₂) = β₂ ⋅ ln(X₂) ln(X₃^β₃) = β₃ ⋅ ln(X₃)

Combinando essas transformações, a equação original se torna: ln(Y) = ln(α) + β₁ ⋅ ln(X₁) + β₂ ⋅ ln(X₂) + β₃ ⋅ ln(X₃)

Esta nova equação tem a forma de um modelo de regressão linear múltipla, onde:

• ln(Y) é a nova variável dependente.
• ln(α) é o intercepto (ou termo constante) da regressão linear.
• ln(X₁), ln(X₂), ln(X₃) são as novas variáveis independentes.
• β₁, β₂, β₃ são os coeficientes angulares para as respectivas variáveis log-transformadas.

Análise

A questão pede para identificar os termos [preencher 1] e [preencher 2] na equação transformada: [preencher 1] = [preencher 2] + β₁⋅ln(X₁) + β₂⋅ln(X₂) + β₃⋅ln(X₃)

Comparando com a derivação passo a passo: ln(Y) = ln(α) + β₁ ⋅ ln(X₁) + β₂ ⋅ ln(X₂) + β₃ ⋅ ln(X₃)

• [preencher 1] corresponde a ln(Y). É a variável dependente transformada.
• [preencher 2] corresponde a ln(α). É o intercepto (termo constante) da equação linearizada.

Vamos analisar as alternativas:

| Alternativa | [preencher 1] | [preencher 2] | Análise | | :---------- | :------------ | :------------ | :------ | | (A) | α | β₁ | Incorreta. A variável dependente é ln(Y), não α. O intercepto é ln(α), não β₁. | | (B) | Y | ln(α) | Incorreta. A variável dependente é ln(Y), não Y. | | (C) | α | ln(α) | Incorreta. A variável dependente é ln(Y), não α. | | (D) | ln(Y) | β₁ | Incorreta. Embora [preencher 1] esteja correto, [preencher 2] é o intercepto (ln(α)), não um dos coeficientes β. | | (E) | ln(Y) | ln(α) | Correta. Corresponde exatamente aos termos obtidos pela transformação logarítmica da equação original. |

Conclusão

A transformação logarítmica é uma técnica essencial em econometria e análise de dados para linearizar modelos de regressão do tipo potência, permitindo que sejam ajustados por métodos de mínimos quadrados ordinários. Ao aplicar o logaritmo natural à equação Y = α ⋅ X₁^β₁ ⋅ X₂^β₂ ⋅ X₃^β₃, obtemos ln(Y) = ln(α) + β₁⋅ln(X₁) + β₂⋅ln(X₂) + β₃⋅ln(X₃). Portanto, os termos corretos para [preencher 1] e [preencher 2] são, respectivamente, ln(Y) e ln(α).

Alternativa E.