Os modelos de regressão polinomial são fundamentais na análise estatística quando a relação entre as...

Alternativa E - Os coeficientes são b₀ = 2, b₁ = - 0,5 e b₂ = 0,5

Introdução

A regressão polinomial é uma técnica estatística essencial para modelar relações não lineares entre variáveis. Enquanto a regressão linear simples assume uma relação reta, a regressão polinomial permite ajustar curvas aos dados, capturando padrões mais complexos, como curvaturas e pontos de inflexão, utilizando potências da variável independente. Neste caso, buscaremos os coeficientes de um polinômio de segundo grau para os dados fornecidos.

Desenvolvimento

Para determinar os coeficientes de um polinômio de segundo grau (y = b₀ + b₁x + b₂x²) que melhor ajusta os dados, utilizamos o método dos mínimos quadrados. Este método minimiza a soma dos quadrados dos resíduos (a diferença entre os valores observados de y e os valores preditos pelo modelo). Para um polinômio de segundo grau, as equações normais a serem resolvidas são:

1. Σy = n ⋅ b₀ + b₁ ⋅ Σx + b₂ ⋅ Σx²
2. Σxy = b₀ ⋅ Σx + b₁ ⋅ Σx² + b₂ ⋅ Σx³
3. Σx²y = b₀ ⋅ Σx² + b₁ ⋅ Σx³ + b₂ ⋅ Σx⁴

Onde 'n' é o número de pontos de dados, e os símbolos de somatório (Σ) representam a soma dos respectivos termos para todos os pontos de dados.

Os dados fornecidos são: x: [1, 2, 3, 4] y: [2, 3, 5, 8] n = 4 (número de pontos de dados)

Vamos calcular as somas necessárias:

• Σx: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
• Σy: 2 + 3 + 5 + 8 = 18
• Σx²: 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
• Σx³: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100
• Σx⁴: 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 16 + 81 + 256 = 354
• Σxy: (1×2) + (2×3) + (3×5) + (4×8) = 2 + 6 + 15 + 32 = 55
• Σx²y: (1²×2) + (2²×3) + (3²×5) + (4²×8) = (1×2) + (4×3) + (9×5) + (16×8) = 2 + 12 + 45 + 128 = 187

Análise

Substituindo os valores calculados nas equações normais, obtemos o seguinte sistema de equações lineares:

1. 18 = 4b₀ + 10b₁ + 30b₂
2. 55 = 10b₀ + 30b₁ + 100b₂
3. 187 = 30b₀ + 100b₁ + 354b₂

Para resolver este sistema, podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos seguir o método de substituição:

Passo 1: Isolar b₀ da Equação 1 Da Equação 1: 4b₀ = 18 - 10b₁ - 30b₂ b₀ = 4.5 - 2.5b₁ - 7.5b₂ (Equação 4)

Passo 2: Substituir b₀ na Equação 2 55 = 10(4.5 - 2.5b₁ - 7.5b₂) + 30b₁ + 100b₂ 55 = 45 - 25b₁ - 75b₂ + 30b₁ + 100b₂ 10 = 5b₁ + 25b₂ Dividindo por 5: 2 = b₁ + 5b₂ (Equação 5) Isolando b₁: b₁ = 2 - 5b₂

Passo 3: Substituir b₀ na Equação 3 187 = 30(4.5 - 2.5b₁ - 7.5b₂) + 100b₁ + 354b₂ 187 = 135 - 75b₁ - 225b₂ + 100b₁ + 354b₂ 52 = 25b₁ + 129b₂ (Equação 6)

Passo 4: Substituir b₁ (de Equação 5) na Equação 6 52 = 25(2 - 5b₂) + 129b₂ 52 = 50 - 125b₂ + 129b₂ 52 = 50 + 4b₂ 2 = 4b₂ b₂ = 0.5

Passo 5: Encontrar b₁ Substituir b₂ = 0.5 na Equação 5: b₁ = 2 - 5(0.5) b₁ = 2 - 2.5 b₁ = -0.5

Passo 6: Encontrar b₀ Substituir b₁ = -0.5 e b₂ = 0.5 na Equação 4: b₀ = 4.5 - 2.5(-0.5) - 7.5(0.5) b₀ = 4.5 + 1.25 - 3.75 b₀ = 5.75 - 3.75 b₀ = 2

Os coeficientes encontrados são: b₀ = 2, b₁ = -0.5 e b₂ = 0.5.

Comparando com as alternativas:

• (A) Os coeficientes sãob₀ = 0, b₁ = 1 e b₂ = 1 - Incorreta.
• (B) Os coeficientes sãob₀ = - 1, b₁ = 0,5 e b₂ = 0,2 - Incorreta.
• (C) Os coeficientes sãob₀ = 1,5, b₁ = 0,2 e b₂ = 0,8 - Incorreta.
• (D) Os coeficientes sãob₀ = 3, b₁ = - 1 e b₂ = 0,4 - Incorreta.
• (E) Os coeficientes sãob₀ = 2, b₁ = - 0,5 e b₂ = 0,5 - Correta.

Conclusão

Através do método dos mínimos quadrados, calculamos as somas necessárias a partir dos dados fornecidos e resolvemos o sistema de equações normais resultante para um polinômio de segundo grau. Os coeficientes que melhor ajustam os dados são b₀ = 2, b₁ = -0.5 e b₂ = 0.5. Isso significa que o polinômio de segundo grau que melhor descreve a relação entre x e y para os dados dados é ŷ = 2 - 0.5x + 0.5x².

Alternativa E.