Um analista está conduzindo um estudo sobre a influência da experiência profissional nas vendas de u...

Alternativa D - t = (2,3 - 0) / (0,5) = 4,6

Introdução

A questão aborda um conceito fundamental em econometria e estatística aplicada: o teste de hipótese para a significância estatística de um coeficiente angular (inclinação) em um modelo de regressão linear simples. Este teste é crucial para determinar se a variável explicativa (experiência profissional, neste caso) tem um impacto estatisticamente significativo sobre a variável resposta (vendas). O valor da estatística t é a base para essa decisão.

Desenvolvimento

No contexto da regressão linear simples, um modelo é geralmente representado como Yᵢ = β₀ + β₁Xᵢ + εᵢ, onde Y é a variável dependente, X é a variável independente, β₀ é o coeficiente linear (intercepto), β₁ é o coeficiente angular (inclinação) e ε é o termo de erro. O coeficiente β₁ representa a mudança média em Y para cada unidade de mudança em X.

Para determinar se a variável X realmente influencia Y, testamos a significância estatística de β₁. A hipótese nula (H₀) geralmente assume que não há relação linear, ou seja, β₁ é igual a zero. A hipótese alternativa (H₁) sugere que há uma relação, ou seja, β₁ é diferente de zero.

• H₀: β₁ = 0 (A experiência profissional não tem impacto linear nas vendas)
• H₁: β₁ ≠ 0 (A experiência profissional tem impacto linear nas vendas)

A estatística de teste utilizada para avaliar essa hipótese é a estatística t, que mede quantas unidades de erro padrão o coeficiente estimado (β̂₁) está distante do valor hipotetizado (β₁₀) sob a hipótese nula. A fórmula geral para a estatística t em um teste de hipótese sobre o coeficiente angular é:

t = (β̂₁ - β₁₀) / SE(β̂₁)

Onde:

• β̂₁ é o estimador do coeficiente angular obtido a partir dos dados (o valor estimado).
• β₁₀ é o valor hipotetizado para β₁ sob a hipótese nula (neste caso, 0).
• SE(β̂₁) é o erro padrão do estimador do coeficiente angular, que mede a precisão da estimativa de β̂₁.

Análise

Dados fornecidos na questão:

• Valor estimado para o coeficiente angular (β̂₁): 2,3
• Erro padrão do coeficiente angular (SE(β̂₁)): 0,5
• Hipótese nula (H₀): β₁ = 0 (portanto, β₁₀ = 0)
• Hipótese alternativa (H₁): β₁ ≠ 0

Aplicando a fórmula da estatística t com os valores fornecidos:

t = (β̂₁ - β₁₀) / SE(β̂₁) t = (2,3 - 0) / 0,5 t = 2,3 / 0,5 t = 4,6

Vamos analisar as alternativas:

| Alternativa | Cálculo Apresentado | Resultado | Justificativa | | :---------- | :------------------- | :-------- | :------------ | | (A) | t = (2,3 - 1) / (0,5) | 2,6 | Incorreta. Subtrai 1 em vez de 0 no numerador (valor da hipótese nula). | | (B) | t = (2,3) / 2 | 1,15 | Incorreta. Divide o estimador por 2, que não representa o erro padrão. | | (C) | t = (0 - 2,3) / (0,5) | -4,6 | Incorreta. Inverte a ordem da subtração no numerador (β₁₀ - β̂₁ em vez de β̂₁ - β₁₀), resultando em um sinal negativo. Embora o valor absoluto esteja correto, a fórmula padrão é (estimativa - valor hipotético). | | (D) | t = (2,3 - 0) / (0,5) | 4,6 | Correta. Aplica a fórmula t = (β̂₁ - β₁₀) / SE(β̂₁) corretamente com β₁₀ = 0. | | (E) | t = (2,3 - 0) / 2 | 1,15 | Incorreta. Divide o numerador pela constante 2 em vez do erro padrão de 0,5. |

A alternativa (D) realiza o cálculo de acordo com a fórmula padrão do teste t para o coeficiente angular, utilizando corretamente o valor estimado, o valor hipotetizado sob a nula e o erro padrão. Os graus de liberdade (14) seriam usados para consultar a tabela t e encontrar o valor crítico, mas não são necessários para o cálculo da estatística t em si.

Conclusão

A estatística t calculada, de 4,6, é o valor que o analista usaria para comparar com o valor crítico de uma distribuição t de Student (com 14 graus de liberdade e um nível de significância predefinido) para decidir se rejeita ou não a hipótese nula. Um valor de t grande (em magnitude) como 4,6 geralmente indica que o coeficiente angular é estatisticamente diferente de zero, sugerindo que a experiência profissional tem uma influência significativa nas vendas. A correta aplicação da fórmula é essencial para a validade das conclusões do teste de hipótese.

Alternativa D.