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Um engenheiro está analisando o crescimento populacional de uma cidade, e os dados mostram que o modelo de crescimento é exponencial. Ele deseja transformar este modelo não linear em uma forma linear para facilitar a interpretação dos parâmetros. O modelo exponencial que ele está analisando é dado pela função:
Em que P(t) representa a população em função do tempo , é o parâmetro inicial e determina a taxa de crescimento. Para facilitar a análise, o engenheiro decide aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação.
Com base nos assuntos estudados sobre adequação e linearização de modelos não lineares, assinale a alternativa correta que descreve a forma linear do modelo e como os parâmetros e podem ser interpretados após essa transformação.
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Alternativa A - Após aplicar o logaritmo natural, a equação resultante é ln(P(t)) = ln(α) + βt, onde ln(α) representa o intercepto e β é o coeficiente angular.
A técnica de linearização permite transformar um modelo não linear em seus parâmetros em um modelo linear, permitindo o uso do método de Mínimos Quadrados Ordinários.
Dado o modelo P(t) = α × exp(βt): Ao aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados, temos: ln(P(t)) = ln(α × e^(βt)) Utilizando propriedades de logaritmos: ln(P(t)) = ln(α) + ln(e^(βt)) ln(P(t)) = ln(α) + βt
A equação resultante tem a forma Y' = A + Bx, onde:
Isso mostra que o logaritmo da população cresce linearmente com o tempo, onde β representa a taxa de crescimento constante na escala logarítmica.
A transformação logarítmica converte o crescimento exponencial em uma relação linear, facilitando a estimação dos parâmetros α e β através de ferramentas de regressão linear padrão.
Alternativa A.