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A integração tem uma ampla gama de aplicações práticas, desde o cálculo de áreas e de volumes até de probabilidades, processamento de sinais e problemas de otimização. Escolher a melhor técnica de integração requer alguma familiaridade com os métodos disponíveis e com o próprio integrando. Quanto mais você praticar, melhor reconhecerá qual técnica usar. Com a experiência, você desenvolverá uma noção de quais métodos são mais eficazes para diferentes tipos de integrais.
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta .
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Alternativa E - (eˣ/2)(sen x - cos x) + C
Algumas integrais exigem a aplicação repetida da integração por partes, resultando em uma equação onde a própria integral original reaparece.
Para ∫ eˣ sen x dx: 1ª vez: u = sen x, dv = eˣ dx → du = cos x dx, v = eˣ. ∫ eˣ sen x dx = eˣ sen x - ∫ eˣ cos x dx. 2ª vez para ∫ eˣ cos x dx: u = cos x, dv = eˣ dx → du = -sen x dx, v = eˣ. ∫ eˣ cos x dx = eˣ cos x - ∫ eˣ (-sen x) dx = eˣ cos x + ∫ eˣ sen x dx.
Substituindo a segunda na primeira: ∫ eˣ sen x dx = eˣ sen x - (eˣ cos x + ∫ eˣ sen x dx) 2 ∫ eˣ sen x dx = eˣ (sen x - cos x) Dividindo por 2: ∫ eˣ sen x dx = (eˣ/2)(sen x - cos x) + C.
Este é um exemplo clássico de integral "circular" que é resolvida isolando-se o termo integral no lado esquerdo da equação.
Alternativa E.